嘿，这个问题问到点子上了！核心原因其实和齐次方程的特征根与非齐次项的指数是否重合直接相关，咱们掰开揉碎了说：

首先，两个方程的齐次部分都是 y''-4y'-12y=0，先写出它的特征方程：
r² - 4r - 12 = 0
解这个方程能得到两个特征根：r=6 和 r=-2。这两个根决定了齐次方程的通解形式，也直接影响非齐次特解的假设方向。

• 对于第一个方程 y''-4y'-12y = e^{6t}：
  非齐次项是 e^{6t}，它的指数6正好是咱们刚算出的一个特征根。这时候如果直接假设特解是 Ae^{6t}，把它代入原方程左边的话，结果会是0（因为Ae^{6t}本身是齐次方程的解，代入齐次部分肯定得0），但右边是e^{6t}，0不可能等于e^{6t}，这就矛盾了！
  所以这时候必须给特解乘上一个t，变成 Ate^{6t}。这个新的函数不再是齐次方程的解，代入原方程后左边就会出现非零项，咱们就能顺利解出A的值，得到符合要求的特解。

• 对于第二个方程 y''-4y'-12y = 3e^{5t}：
  非齐次项的指数是5，这个数既不是6也不是-2，也就是说不是特征根。这时候假设特解为 Ae^{5t} 就完全没问题——代入原方程左边后，结果不会是0，咱们可以通过计算解出A，让左边等于右边的3e^{5t}。

简单总结一下：当非齐次项的指数是齐次方程的特征根时，直接用Ae^{rt}会失效（因为它是齐次解，代入后左边为0），所以得乘t来构造新的候选特解；如果不是特征根，直接用Ae^{rt}就行啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ashh3720