各位好，最近我在研究$\sqrt{2}$的二进制展开性质，有个问题想请教大家。

首先先铺垫一下背景：$\sqrt{2}$的二进制展开形式为：
$$\sqrt{2}=1+\sum_{k\ge1} r_k 2^{-k}, \quad r_k\in{0,1}$$

我已经整理出了一个关于其中1的分布结论的证明：对于任意$n\ge1$，在$n\le k\le 2n$的位置区间里，至少存在一个$k$使得$r_k=1$。（注：这个证明思路参考了一个关于$\sqrt{3}$的已有证明，但我找不到原链接了）

上述结论的证明过程 #

假设存在某个$n$，使得$r_k=0$对所有$k=n,n+1,\dots,2n$都成立。那么我们可以将$2^{n-1}\sqrt{2}$表示为：
$$2^{n-1}\sqrt{2}=m+\epsilon$$
这里$m$是自然数，且$0<\epsilon\le 2^{-n-1}$。

将等式两边平方后得到：
$$2^{2n-1}=m2+2m\epsilon+\epsilon^2$$

另外，由$m<2^{n-1}\sqrt{2}$，我们可以估算右边余项的范围：
$$0<2m\epsilon+\epsilon^2<2{-1}\sqrt{2}+2^{-2n-2}<1$$

这就意味着$2^{2n-1}=m2$，但这显然不可能——因为$2^{2n-1}$是2的奇次幂，无法表示为自然数的平方，由此矛盾，原假设不成立，结论得证。

我的问题 #

现在我好奇的是，下面这个结论是否同样成立：对于所有足够大的$n\ge1$，在$n\le k\le 2n$的位置区间里，至少存在一个$k$使得$r_k=0$？

希望各位能给我一些思路或者解答，谢谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1150324