嘿，我来帮你理清楚怎么用题目给的这五个矩阵完成证明！其实核心思路是用分块初等矩阵的乘法把原矩阵$A$分解成我们熟悉的结构（比如分块三角/对角矩阵），再结合已经算出的那五个矩阵的行列式性质来推导。

首先，先回顾你已经算出的五个矩阵的行列式结果，这些是关键基础：

• $\det(A_1) = \det(A_{11})$（分块对角矩阵的行列式是对角块行列式的乘积，$I$的行列式是1）
• $\det(A_2) = \det(A_{22})$（同理）
• $\det(A_3) = \det(A_{11})\det(A_{22})$（分块对角矩阵的乘积性质）
• $\det(A_4) = 1$（分块上三角单位矩阵，对角块都是单位矩阵，行列式乘积为1）
• $\det(A_5) = \det(A_{11})\det(A_{22})$（分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积，和$A_3$一致）

接下来，我们要做的是把原矩阵$A$用这些矩阵（或者它们的同类初等矩阵）做乘法分解：

步骤1：构造分块初等矩阵，消去$A_{21}$块 #

我们构造一个和$A_4$类似的分块下三角单位矩阵：
$$E = \begin{pmatrix} I & 0 \ -A_{21}A_{11}^{-1} & I \end{pmatrix}$$
它的行列式和$A_4$一样是1（单位分块三角矩阵的行列式都是1，因为对角块都是单位矩阵）。

现在计算$E$和$A$的乘积：
$$
E \cdot A = \begin{pmatrix} I & 0 \ -A_{21}A_{11}^{-1} & I \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \ A_{21} & A_{22} \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} \ 0 & A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{pmatrix}
$$
这个结果矩阵$F = E \cdot A$是一个分块上三角矩阵，结构和题目给的$A_5$完全一致，只是右下角块换成了$A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$。

步骤2：计算$F$的行列式，类比$A_5$的性质 #

既然$F$和$A_5$都是分块上三角矩阵，我们可以直接用$A_5$的行列式计算逻辑：分块上三角矩阵的行列式等于对角块行列式的乘积。所以：
$$\det(F) = \det(A_{11}) \cdot \det\left(A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)$$

步骤3：结合行列式乘法性质推导目标公式 #

根据行列式的乘法性质，$\det(E \cdot A) = \det(E) \cdot \det(A)$。我们已经知道$\det(E)=1$，所以：
$$\det(A) = \det(F) = \det(A_{11}) \cdot \det\left(A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}\right)$$

怎么关联题目给的五个矩阵？ #

其实我们已经用到了它们的核心性质：

• 用$A_4$的“单位分块三角矩阵行列式为1”的性质，推导出$E$的行列式也是1；
• 用$A_5$的“分块上三角矩阵行列式为对角块乘积”的性质，直接得到$F$的行列式计算方式；
• $A_1$、$A_2$、$A_3$的行列式结果其实帮你熟悉了分块对角/三角矩阵的行列式规则，为后续推导做了铺垫。

如果要更直接地把$A_1$和$A_4$融入分解，我们还可以把$F$写成$A_1 \cdot \begin{pmatrix} I & A_{11}^{-1}A_{12} \ 0 & A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{pmatrix}$，而后面这个矩阵又等于$\begin{pmatrix} I & 0 \ 0 & A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \end{pmatrix} \cdot A_4$，这样$F = A_1 \cdot \begin{pmatrix} I & 0 \ 0 & C \end{pmatrix} \cdot A_4$（其中$C = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$），取行列式后同样能得到结果，完全用到了$A_1$和$A_4$的行列式值。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者David