嘿，这个问题问到点子上了！答案是肯定的——有限维向量空间$V$上的幂零线性算子空间，对交换子括号$[A,B] = AB - BA$是封闭的。

咱们一步步拆解来理清楚：

• 先明确幂零算子的定义：一个线性算子$T$是幂零的，等价于存在某个正整数$n$，使得$T^n = 0$（也就是把算子迭代足够多次后，会变成零算子）。
• 现在假设$A$和$B$都是$V$上的幂零算子，咱们要证明$[A,B] = AB - BA$同样是幂零的。这里有个直观的计算思路：
  假设$A^k = 0$，$B^m = 0$，咱们考虑$[A,B]$的$(k+m-1)$次幂。利用算子幂次展开的类似规则，把$([A,B])^{{k+m-1}$展开后，每一项都是形如$A}{i_1}B^{j_1}A{i_2}B^{j_2}\dots$的算子乘积，其中所有$i$的总和加上所有$j$的总和等于$k+m-1$。
  这时候要么所有$i$的总和$\geq k$（这时候$A$的幂次会直接变成零算子，整个项就为零），要么所有$j$的总和$\geq m$（同理$B$的幂次变成零，项也为零）。既然展开后的每一项都是零算子，那自然$([A,B])^{k+m-1} = 0$，这就证明了$[A,B]$是幂零的。

换句话说，两个幂零线性算子的交换子本身也是幂零算子，所以这个幂零算子空间对交换子括号是封闭的——它其实构成了一个李代数哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者D-de-M