我最近碰到一个很有意思的组合数学问题，自己尝试着解出来了，但方法有点繁琐，想请大家帮忙验证下答案是否正确，同时看看有没有更简洁优雅的解法。

问题：求8位数$ABCDEFGH$的数量，要求所有数字为1到8的不同数字（注：我的推导里用到了9，可能问题实际是1到9的不同数字，这里按我的解题过程呈现），且满足$A > B > C > D$和$D < E < F < G < H$。

我的解题思路与过程 #

我首先确定了中间数字$D$的可能取值只能是1或2，然后分两种情况逐一分析：

情况1：$D=2$

此时$H$的可能取值为6、7、8、9，分别计算：

• 当$H=6$时，只有唯一的组合：$98723456$
• 当$H=7$时，$EFG$需要从{3,4,5,6}中选3个按升序排列，对应的组合数是$\binom{4}{3}$；剩下的1个数字和{8,9}组成$ABC$（按降序），组合数是$\binom{3}{3}$，总计$\binom{4}{3} \times \binom{3}{3} = 4$种
• 当$H=8$时，$EFG$从{3,4,5,6,7}中选3个，组合数$\binom{5}{3}$，$ABC$的组合数还是$\binom{3}{3}$，总计$\binom{5}{3} \times \binom{3}{3} = 10$种
• 当$H=9$时，$EFG$从{3,4,5,6,7,8}中选3个，组合数$\binom{6}{3}$，$ABC$组合数$\binom{3}{3}$，总计$\binom{6}{3} \times \binom{3}{3} = 20$种

这部分加起来一共是$1+4+10+20=35$种组合。

情况2：$D=1$

用同样的逻辑推导：

• 后四位$EFGH$的组合数对应$\binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3}$
• 前三位$ABC$需要从剩下的数字里选3个按降序排列，组合数是$\binom{4}{3}$
• 这部分总计$\left( \binom{3}{3} + \binom{4}{3} + \binom{5}{3} + \binom{6}{3} + \binom{7}{3} \right) \times \binom{4}{3} = 280$种组合

我得到的最终结果 #

把两种情况的数量相加，总共有$35+280=315$种组合。

现在想请教各位：

• 我的这个答案是否正确？有没有哪里考虑漏了或者算错了？
• 有没有更简洁的解法？不用这种分情况逐个枚举的方式，比如有没有更通用的组合数思路？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lee