嘿，我完全懂你现在的困惑！你的计算大部分步骤都是正确的，但漏掉了一个关键的特殊情况——当n=1的时候，你用的积分公式不适用啦，这就是为什么你误以为所有系数都是0的原因。

先给你吃颗定心丸：你对b_n和a₀的计算是完全正确的：

• b_n=0没问题：因为cos(x)是偶函数，sin(nx)是奇函数，偶函数乘奇函数得到的是奇函数，在对称区间[-π, π]上的积分必然为0。
• a₀=0也没错：∫_{-π}^π cos(x) dx = sinx|_{-π}^π = sinπ - sin(-π) = 0 - 0 = 0，积分过程没毛病。

问题出在a_n的计算上：
你用了积化和差公式cosx cos(nx) = [cos((n+1)x)+cos((n-1)x)]/2，这个公式本身是对的，但当n=1时，cos((n-1)x)=cos0=1，这时候你原来推导的积分结果里1/(n-1)就会变成分母为0的情况，属于不定式，不能直接套用n≠1时的计算方式，必须单独计算n=1的情况。

咱们来单独算a₁：

a₁ = (1/π)∫_{-π}^π cos(x) * cos(1·x) dx = (1/π)∫_{-π}^π cos²x dx

利用三角恒等式cos²x = (1+cos2x)/2代入积分：

= (1/π)∫_{-π}^π (1+cos2x)/2 dx = (1/(2π))[ ∫_{-π}^π 1 dx + ∫_{-π}^π cos2x dx ]

计算两个积分：

• 第一个积分∫_{-π}^π 1 dx = 2π
• 第二个积分∫_{-π}^π cos2x dx = (sin2x)/2 |_{-π}^π = 0

所以代入后：

a₁ = (1/(2π))(2π + 0) = 1

而当n≠1时，你的计算是对的，a_n=0——因为sin((n+1)π)和sin((n-1)π)都是整数倍的π的正弦值，结果都是0，所以积分结果为0。

最后总结一下：f(x)=cosx本身就是三角函数系中的一员，它的傅里叶级数就是它自己，也就是只有a₁=1，其他所有系数（a₀、a_n(n≠1)、b_n）都为0，完全符合预期~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jennifer Avila