我最近在研究一个关于正方形三角剖分与顶点着色的问题，想向各位大佬请教：

问题设定 #

先明确几个核心前提：

• 我们有一个正方形的三角剖分：即把正方形分割成若干三角形，任意两个三角形要么完全不相交，要么共享一个完整的面（边或顶点）。
• 剖分边界约束：正方形的边界上除了四个角之外，没有其他剖分产生的顶点。
• 顶点着色规则：给每个顶点染成红色或蓝色，同时满足两个要求：
  1. 正方形的两组对角分别同色：一组对角全为红色，另一组全为蓝色；
  2. 每个剖分出来的三角形中，至少包含一个红色顶点和一个蓝色顶点（不存在全红或全蓝的三角形）。

观察到的现象 #

我自己验证了几个实例，发现都遵循同一个规律：要么存在一条连接两个红色对角顶点的红色路径，要么存在一条连接两个蓝色对角顶点的蓝色路径。举两个具体例子：

• 在某一种着色方案中，存在蓝色路径 D₁-D₄-D₆-D₂；
• 如果把上述例子中的D₄改成红色，就会出现红色路径 C₁-C₃-C₄-D₄-C₈-C₂。

核心疑问 #

基于这些观察，我想确认：是否在所有满足上述所有条件的三角剖分与着色方案中，必然存在这样的单色对角路径？

补充说明 #

需要特别注意的是，如果去掉“边界上除四角外无其他剖分顶点”这个约束，结论是不成立的——比如可以构造一个内部包含小正方形（顶点为C₇,D₇,C₈,D₈）的剖分，设计出两种单色路径都不存在的着色方案。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Erel Segal-Halevi