嘿，我来给你把这个概念讲明白！首先得明确，这里说的是作为阿贝尔群（也就是只看环里的加法运算构成的群），Hurwitz整四元数环$R$是“free on the basis”——翻译成大白话，就是这个加法群是个自由阿贝尔群，而$\left{(1+i+j+k)/2,i,j,k\right}$就是它的一组基，具体含义可以拆成两点：

• 唯一表示性：$R$里的任意一个元素，都能唯一地写成这四个基元素的整数线性组合。举个例子，根据$R$的定义，任意元素都是$(a+bi+cj+dk)/2$，其中$a,b,c,d$要么全偶要么全奇：
  • 若$a,b,c,d$全偶，设$a=2a',b=2b',c=2c',d=2d'$，那这个元素就等于$0 \cdot \frac{1+i+j+k}{2} + b' \cdot i + c' \cdot j + d' \cdot k$，是基元素的整数线性组合；
  • 若$a,b,c,d$全奇，设$a=2a'+1,b=2b'+1,c=2c'+1,d=2d'+1$，元素就变成$\frac{1+i+j+k}{2} + b' \cdot i + c' \cdot j + d' \cdot k$，同样是基元素的整数线性组合。而且不管哪种情况，这个表示方式都是唯一的，不会有两组不同的整数系数能得到同一个元素。
• 无冗余关系：不存在非全零的整数$n_1,n_2,n_3,n_4$，使得$n_1 \cdot \frac{1+i+j+k}{2} + n_2 \cdot i + n_3 \cdot j + n_4 \cdot k = 0$（这里的0是四元数里的零元素）。也就是说，这四个基元素之间没有“线性依赖”的关系，每一个都不能被其他几个的整数组合表示出来。

简单来说，把$R$当成加法群看，它就像一个四维的“整数坐标系”，这四个基元素就是坐标系里的四个“单位向量”，每个元素都对应唯一的一组整数“坐标”，没有多余的约束，这就是“free on the basis”的核心意思啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Maths is good