嘿，我来给你把这个逻辑掰明白！其实核心是利用集合的划分和互斥事件的概率可加性这两个知识点：

1. 先看第一个式子：$P((A\cap B')\cup(A\cap B)) = P(A)$

   • 首先，$(A\cap B')$ 和 $(A\cap B)$ 是互斥事件（也就是没有交集）：一个元素既属于A又不属于B，和既属于A又属于B，这两种情况不可能同时发生，所以它们的交集是空集。
   • 然后，这两个集合的并集刚好就是集合A：对于A里的任意一个元素，它要么属于B，要么不属于B（这是补集的定义），所以A里的元素必然落在$(A\cap B')$ 或者 $(A\cap B)$ 其中一个里面，不会有遗漏。
   • 根据概率的基本性质：互斥事件的并集的概率等于各事件概率之和。所以：
     $$P((A\cap B')\cup(A\cap B)) = P(A\cap B') + P(A\cap B) = P(A)$$

2. 再看第二个式子：$P((A'\cap B)\cup(A\cap B)) = P(B)$

   • 同样的道理，$(A'\cap B)$ 和 $(A\cap B)$ 也是互斥事件：一个元素属于B但不属于A，和属于B又属于A，不可能同时成立。
   • 它们的并集就是集合B：B里的任意元素要么属于A，要么不属于A，所以必然落在$(A'\cap B)$ 或者 $(A\cap B)$ 里。
   • 套用互斥事件的概率可加性：
     $$P((A'\cap B)\cup(A\cap B)) = P(A'\cap B) + P(A\cap B) = P(B)$$

把这两个结论代入到你看到的推导式里，就能顺利得到概率加法公式啦：
$$\ldots=P((A\cap B')\cup(A\cap B)) + P((A'\cap B)\cup(A\cap B)) - P(A\cap B) = P(A) + P(B) - P(A\cap B)$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Vanconts