大家好！我最近尝试构思了一种将矩形转化为等面积正方形的几何构造方法，全程没有参考欧几里得《几何原本》II.14里的解法，现在想请各位帮忙验证这个构造的正确性，同时也欢迎从思路、表述等任何方面给出点评或优化建议。

具体构造步骤 #

• 给定矩形$▭ABCD$：
  • 若该矩形本身就是正方形，构造直接完成。
  • 否则，不失一般性，假设$AB < AD$。
• 延长线段$AB$过点$B$至点$Q$，使得$AQ \cong AD$；找到$AQ$的中点$P$（即$AP = PQ$）。
• 以点$P$为圆心、$AP$为半径作圆$\bigcirc P$。
• 延长线段$BC$过点$B$，直至与$\bigcirc P$相交于点$X$。
• 根据泰勒斯定理，可以推出$\angle AXQ$是直角。
• 构造以$AX$为边长的正方形：延长线段$QX$过点$X$至点$R$，使得$RX \cong AX$且$RX \perp AX$，由此得到正方形$\square AXR$。
• 参考欧几里得《几何原本》I.47（勾股定理）的证明逻辑，可证得正方形$\square AXR$的面积与原矩形$▭ABCD$的面积相等。

我的问题 #

想请教各位：

1. 这个构造方法是否严谨正确？
2. 不管是构造思路的合理性、表述的清晰性，还是其他细节，都欢迎给出点评、改进意见或者相关补充。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SRobertJames