定义：有理标准形矩阵 #

设 ( F ) 是域，( A \in M_{n\times n}(F) ) 称为有理标准形矩阵，若 ( A ) 是分块对角矩阵：
$$A=\begin{bmatrix} A_1& & \ & \ddots & \ & & A_r\ \end{bmatrix}$$
其中每个 ( A_i ) 是某个非零首一多项式 ( p_i ) 的友矩阵，且满足整除性条件：对所有 ( 1\leq i\leq r-1 )，有 ( p_{i+1}|p_i )。

有理标准形定理 #

设 ( F ) 是域，( B \in M_{n\times n}(F) )，则 ( B ) 在域 ( F ) 上相似于唯一的一个有理标准形矩阵。

原证明概述 #

设 ( T ) 是 ( F^n ) 上的线性算子，它在标准基下的矩阵为 ( B )。根据之前的结论，存在 ( F^n ) 的一组有序基，使得 ( T ) 在该基下的矩阵 ( A ) 是有理标准形，因此 ( B ) 与 ( A ) 相似。

若假设 ( B ) 还相似于另一个有理标准形矩阵 ( C )，则意味着存在 ( F^n ) 的一组有序基，使得 ( T ) 在该基下的矩阵为 ( C )。若 ( C ) 是首一多项式 ( g_1,\dots,g_s ) 的友矩阵 ( C_1,\dots,C_s ) 的直和，且满足 ( g_{i+1}|g_i )（( 1\leq i\leq s-1 )），则原证明提到“显然存在非零向量 ( \beta_1,\dots,\beta_s \in V )，其 ( T )-零化子为 ( g_1,\dots,g_s )，且 ( V=Z(\beta_1;T)\oplus \dots \oplus Z(\beta_s;T) )”，随后利用循环分解定理的唯一性得到 ( g_i=p_i )，故 ( C=A )。

核心问题 #

如何严谨证明：存在非零向量 ( \beta_1,\dots,\beta_s\in V\setminus {0} )，使得每个 ( \beta_i ) 的 ( T )-零化子是 ( g_i )，且 ( V ) 是这些循环子空间 ( Z(\beta_i;T) ) 的直和？

嘿，这个问题问得特别关键——原证明里那句“显然”确实需要补全细节才能算真正严谨。咱们一步步拆解来做：

首先回忆友矩阵对应的循环子空间构造：假设 ( C_i ) 是首一多项式 ( g_i(x)=x^{{k_i}+a_{i,k_i-1}x}{k_i-1}+\dots+a_{i,0} ) 的友矩阵，它对应的线性算子在 ( F^{k_i} ) 上的作用是：把标准基 ( {e_{i,1},e_{i,2},\dots,e_{i,k_i}} ) 映射为 ( e_{i,2},e_{i,3},\dots,-a_{i,0}e_{i,1}-a_{i,1}e_{i,2}-\dots-a_{i,k_i-1}e_{i,k_i} )。

因为 ( C ) 是 ( C_1\oplus C_2\oplus\dots\oplus C_s )，所以 ( V=F^n=F{k_1}\oplus F^{k_2}\oplus\dots\oplus F^{k_s} )（这里的直和是向量空间的直和）。我们取每个子空间 ( F^{k_i} ) 里的第一个标准基向量 ( \beta_i=(0,\dots,0,e_{i,1},0,\dots,0) \in V )——也就是在第 ( i ) 个分块位置取 ( e_{i,1} )，其余分块都是零向量。

接下来验证两个核心关键点：

1. ( \beta_i ) 的 ( T )-零化子是 ( g_i )：
   对 ( \beta_i ) 反复作用 ( T )，会得到：

   • ( T(\beta_i)=(0,\dots,0,e_{i,2},0,\dots,0) )
   • ( T^2(\beta_i)=(0,\dots,0,e_{i,3},0,\dots,0) )
   • ...
   • ( T^{k_i-1}(\beta_i)=(0,\dots,0,e_{i,k_i},0,\dots,0) )
   • ( T^{k_i}(\beta_i)=(0,\dots,0,-a_{i,0}e_{i,1}-a_{i,1}e_{i,2}-\dots-a_{i,k_i-1}e_{i,k_i},0,\dots,0) = -a_{i,0}\beta_i -a_{i,1}T(\beta_i)-\dots-a_{i,k_i-1}T^{k_i-1}(\beta_i) )
     这直接说明 ( g_i(T)(\beta_i)=0 )。现在要证明 ( g_i ) 是满足这个等式的次数最低的首一多项式：假设存在次数小于 ( k_i ) 的首一多项式 ( h(x) ) 使得 ( h(T)(\beta_i)=0 )，展开后会得到 ( F^{k_i} ) 里的线性组合 ( c_0e_{i,1}+c_1e_{i,2}+\dots+c_{m}e_{i,m}=0 )（( m<k_i )），但 ( e_{i,1},\dots,e_{i,k_i} ) 是线性无关的，所以所有系数 ( c_j=0 )，矛盾。因此 ( g_i ) 确实是 ( \beta_i ) 的 ( T )-零化子。

2. ( V ) 是这些循环子空间的直和：
   首先，每个循环子空间 ( Z(\beta_i;T) ) 由 ( \beta_i,T(\beta_i),\dots,T^{k_i-1}(\beta_i) ) 张成，而这些向量恰好是 ( V ) 的标准基里对应第 ( i ) 个分块的基向量 ( e_{i,1},\dots,e_{i,k_i} )。整个 ( V ) 的标准基就是所有这些分块基向量的并，且它们线性无关，所以 ( V=\text{span}{e_{1,1},\dots,e_{1,k_1},\dots,e_{s,1},\dots,e_{s,k_s}}=Z(\beta_1;T)+Z(\beta_2;T)+\dots+Z(\beta_s;T) )。

   再验证直和条件：假设 ( v_1+v_2+\dots+v_s=0 )，其中 ( v_i\in Z(\beta_i;T) )。每个 ( v_i ) 是 ( \beta_i,T(\beta_i),\dots,T^{k_i-1}(\beta_i) ) 的线性组合，也就是 ( F^{k_i} ) 里的向量，所以 ( v_i ) 在其他分块位置的分量都是零。因此等式 ( v_1+\dots+v_s=0 ) 意味着每个 ( v_i=0 )，完全满足直和的定义。

这样就严谨地构造出了所需的向量 ( \beta_1,\dots,\beta_s )，并且证明了直和分解的存在性。本质上就是利用友矩阵本身自带的循环结构，从分块直和的基里直接提取出循环子空间的生成元~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user264745