嘿，我来帮你把这个推导过程拆解清楚，咱们一步一步来捋明白~

首先先回顾一下论文里的初始LMI：
$$
\begin{bmatrix}X - (1-\lambda)AXA^T & \sqrt{\lambda}F \ \sqrt{\lambda}F^T & X^{-1}\end{bmatrix} > 0 \tag{1}
$$
已知条件是$X - (1-\lambda)AXA^T > 0$、$X>0$（因为$X^{-1}$存在且原矩阵正定，所以X必然正定），以及$\lambda \in [0,1]$。

核心推导逻辑：两次反向应用舒尔补定理 #

其实作者的推导是两次反向运用舒尔补的结果，比直接构造合同变换矩阵更直观：

1. 第一步：对初始LMI(1)用舒尔补拆出不等式
   根据舒尔补定理，对于正定的分块矩阵$\begin{bmatrix}A & B \ B^T & C\end{bmatrix}$（C可逆），等价于$C>0$且$A - B C^{-1} B^T >0$。
   对LMI(1)应用这个定理，右下角块是$X^{-1}$（可逆且正定），所以(1)正定等价于：
   $$
   X - (1-\lambda)AXA^T - \sqrt{\lambda}F \cdot (X^{-1}){-1} \cdot \sqrt{\lambda}F^T > 0
   $$
   化简后得到：
   $$
   X > (1-\lambda)AXA^T + \lambda F X F^T \tag{3}
   $$

2. 第二步：对不等式(3)第一次反向用舒尔补
   我们先把不等式(3)改写为$X - \lambda F X F^T > (1-\lambda)AXA^{T$。注意到右边的$(1-\lambda)AXA}T$可以写成$(\sqrt{1-\lambda}A) \cdot X \cdot (\sqrt{1-\lambda}A)^T$，而根据舒尔补的反向逻辑：

若$Z>0$，则$P > Y Z Y^T$等价于$\begin{bmatrix}P & Y \ Y^T & Z^{-1}\end{bmatrix} >0$

这里$P = X - \lambda F X F^T$，$Y = \sqrt{1-\lambda}A$，$Z = X$（$Z^{-1}=X{-1}$），代入后得到：
$$
\begin{bmatrix}X - \lambda F X F^T & \sqrt{1-\lambda}A \ \sqrt{1-\lambda}A^T & X^{-1}\end{bmatrix} >0 \tag{4}
$$

3. 第三步：对矩阵(4)第二次反向用舒尔补
   现在看矩阵(4)的左上角块$X - \lambda F X F^T$，同样用舒尔补的反向逻辑：$X - \lambda F X F^T >0$等价于：
   $$
   \begin{bmatrix}X & \sqrt{\lambda}F \ \sqrt{\lambda}F^T & X^{-1}\end{bmatrix} >0
   $$
   把这个2x2块替换进矩阵(4)的左上角位置，就得到了论文里的LMI(2)：
   $$
   \begin{bmatrix}X & \sqrt{\lambda}F & \sqrt{1-\lambda}A \ \sqrt{\lambda}F^T & X^{-1} & 0 \ \sqrt{1-\lambda}A^T & 0 & X^{-1}\end{bmatrix} > 0 \tag{2}
   $$

关于你提到的合同变换矩阵Q #

如果一定要构造那个合同变换矩阵Q，其实是把两次舒尔补对应的变换组合起来的分块上三角矩阵：
$$
Q = \begin{pmatrix}
I & 0 & \sqrt{1-\lambda} A X^{1/2} \
0 & I & 0 \
0 & 0 & X^{1/2}
\end{pmatrix}
$$
你可以自己验证一下$Q \times \text{Park提到的块对角矩阵} \times Q^T$确实等于LMI(2)，不过从舒尔补的逻辑推导已经足够清晰，没必要纠结这个矩阵的具体形式~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mahmoud