我现在碰到一个关于证明逻辑的困惑，先把问题背景和我的思路说清楚：

设$X$是实值随机变量，若$7X^3+5X \ge X^2+8$，证明$X \ge 0$

我自己想了两个证明方向：

• 证明1：先把原式变形为$X(7X^2+5) \ge (X^{2+8)$。首先$X$肯定不能是0，因为代入0的话左边是0，右边是8，$0\ge8$明显不成立；其次$X$也不可能小于0，因为左边是负数乘正数（$7X}2+5$不管$X$是什么实数都是正的），结果是负数，而右边$X^2+8$肯定是正数，负数不可能大于等于正数，所以能推出$X>0$，进而得到$X\ge0$。
• 证明2：把原式整理成$7X^3 - X^2 + 5X - 8 \ge 0$，求解这个三次不等式的实根后，得到$X \ge 0.8593196$，由此推出$X\ge0$。

现在我纠结的点就在两个证明的最后一步：当我们做这类证明题的时候，到底是因为我们证明了一个更小的集合（比如$X>0$或者$X\ge0.8593196$）是原式成立的必要条件，所以它的超集$X\ge0$自然也满足“只要原式成立，$X$就属于这个超集”？还是说这里有逻辑问题——因为0本身代入原式根本不成立，所以不能得出$X\ge0$的结论？

另外有没有权威的参考资料，比如专门讲证明的手册之类的，能把这个逻辑点讲清楚？

注：这不是作业题，我是特意把问题提炼出来，就是想把这个逻辑点彻底搞明白。

补充提问：或许换个方式问更清晰：这类证明题到底是要求我们证明“存在至少一个$X$同时满足原式和$X\ge0$”，还是要求我们证明“所有满足原式的$X$都属于$[0,+\infty)$”？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者R Carnell