嘿，我来帮你理清这个困惑！你现在的问题出在重复计数上啦，咱们一步一步来拆解。

首先，你把p的倍数按p的不同幂次分组，比如p的倍数、p²的倍数……但这些组是有包含关系的：所有p²的倍数本身已经是p的倍数了，p³的倍数也是p的倍数和p²的倍数，以此类推。你把这些组的数量直接相加，相当于把同一个数（比如p²）算了好几次，这就导致结果错啦。

那正确的计算方式应该是什么样的呢？其实很简单：一个数是p的倍数，当且仅当它可以写成m = p * t，其中t是正整数。咱们分两种情况看：

• 如果证明里用的是闭区间[1, p^{k]：此时m可以取到p*p}{k-1}=p^{k，t的取值范围是1到p}{k-1}，总共有p^{k-1}个，这就和证明里的结论完全对应。
• 如果是你写的左闭右开区间[1, p^{k)：m最大只能到p*(p}{k-1}-1)=p^k - p，t的取值范围是1到p^{{k-1}-1，总共有p}{k-1}-1个。

而欧拉函数φ(p^{k)的定义是**小于等于p}k且与p^{k互质的正整数的个数**，所以大部分证明会用闭区间[1,p}k]来计算：总共有p^{k个数，减去其中p的倍数的数量p}{k-1}，剩下的就是和p^{k互质的数，也就是φ(p}k)=p^k - p^{k-1}，逻辑一下子就通顺了。

给你举个小例子验证下：比如p=2，k=3，p^{k=8。区间[1,8]里2的倍数是2、4、6、8，一共4个，刚好等于p}{k-1}=2²=4，完全符合结论。

如果想用更通用的方法计算区间内p的倍数数量，直接用“区间内p的倍数个数= floor(区间最大值 / p)”就好，既简单又不会出错～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者tonythestark