嘿，你的论证思路完全正确！让我帮你把整个逻辑理得更清晰，顺便把计数的问题讲透：

你的论证正确性验证 #

• 关于「所有$p$的倍数都是幂零元」的结论完全成立：
  假设$a = rp \in \mathbb Z/p^k\mathbb Z$，那么$a^k = (rp)^k = r^k p^{k$，而在模$p}k$的环中，$p^k \equiv 0$，因此$a^k \equiv 0$，完美满足幂零元的定义（存在正整数$n$使得$a^n=0$）。
• 关于「非$p$的倍数不是幂零元」的推理也没问题：
  如果$a$不被$p$整除，那么$a$和$p^{k$互质（因为$p$是质数，$a$的素因子里没有$p$）。根据欧拉定理，$a}{\phi(p^k)} \equiv 1 \mod p^{k$（其中$\phi(p}k)=p^k - p^{{k-1}$是欧拉函数），这意味着不管把$a$升到多少次方，结果都不可能是0——它模$p}k$的结果始终是与$p^{k$互质的数，不可能被$p}k$整除。你用素因子分解的思路也很到位：左边的素因子不含$p$，右边如果是0则必须包含$p$的幂次，这直接违反了素因子分解的唯一性，矛盾。

幂零元的计数方法 #

要数$\mathbb Z/p^k\mathbb Z$中$p$的倍数个数，有两种直观的方式：

• 补集计算法：这个环里总共有$p^{k$个元素（即${0,1,2,\dots,p}k-1}$），其中不被$p$整除的元素个数是欧拉函数$\phi(p^k)=pk - p^{{k-1}$，因此被$p$整除的元素个数就是总元素数减去不被$p$整除的元素数：$p}k - (p^k - p^{k-1}) = p^{k-1}$。
• 直接枚举法：所有$p$的倍数可以写成$p \times 0, p \times 1, p \times 2, \dots, p \times (p^{{k-1}-1)$，一共$p}{k-1}$个不同的元素（当乘到$p \times p^{k-1}=pk$时，模$p^{k$等于0，和第一个元素重复，所以刚好是$p}{k-1}$个）。

总结一下：$\mathbb Z/p^k\mathbb Z$中的幂零元就是所有能被$p$整除的元素，一共有$p^{k-1}$个。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者beginner