嘿，这个问题挺值得琢磨的！咱们先从你给出的方差核心公式入手，一步步拆解怎么对比这三个随机变量的方差，以及这个公式能不能帮上忙。

首先明确：你提到的 Var(X) = E[(X - E[X])²] = E[X²] - (E[X])² 是方差计算的核心工具，完全可以用来推导这三个变量的方差，但要直接得出“Var(X²)、Var(X)、Var(√X)谁大谁小”的通用结论是不可能的——因为结果完全取决于X的分布类型和参数。不过我们可以结合具体分布的例子，用这个公式来实际对比，就清楚多了。

先写出三个方差的展开式 #

用你给的公式，我们可以把三个变量的方差都展开成矩的形式（前提是X是非负随机变量，这样√X才有意义）：

• Var(X²) = E[X⁴] - (E[X²])² （把X²代入方差公式，替换原来的X）
• Var(X) = E[X²] - (E[X])² （就是你给出的原公式）
• Var(√X) = E[X] - (E[√X])² （因为(√X)²=X，所以E[(√X)²]就是E[X]）

举具体分布的例子对比 #

我们拿两个常见分布来实际计算，看看结果：

例子1：X服从参数λ=1的指数分布

指数分布的各阶矩是已知的：

• E[X] = 1，E[X²] = 2，E[X⁴] = 24，E[√X] = √(π/4) ≈ 0.8862

代入计算方差：

• Var(X) = 2 - 1² = 1
• Var(X²) = 24 - 2² = 20
• Var(√X) = 1 - (0.8862)² ≈ 0.2146

这里很明显：Var(X²) > Var(X) > Var(√X)

例子2：X服从[0,1]上的均匀分布

各阶矩计算：

• E[X] = 0.5，E[X²] = 1/3 ≈ 0.3333，E[X⁴] = 1/5 = 0.2，E[√X] = 2/3 ≈ 0.6667

代入方差：

• Var(X) = 1/3 - (0.5)² = 1/12 ≈ 0.0833
• Var(X²) = 1/5 - (1/3)² = 4/45 ≈ 0.0889
• Var(√X) = 0.5 - (2/3)² = 1/18 ≈ 0.0556

这里依然是Var(X²) > Var(X) > Var(√X)，只不过前两者的差距很小。

关于“能不能用这个公式有效比较”的结论 #

答案是肯定可以，但需要结合X的具体分布：

1. 首先你得知道X的分布信息，或者能求出X的各阶矩（E[X]、E[X²]、E[X⁴]、E[√X]等）；
2. 用你给出的方差公式分别计算三个变量的方差；
3. 直接对比计算出的数值就能得到大小关系。

另外补充一句：从多数常见分布的结果来看，X的平方变换通常会放大波动（尤其是当X有大于1的取值时），所以Var(X²)往往大于Var(X)；而平方根变换会压缩大数值、放大小数值，整体波动会更小，所以Var(√X)通常是三者中最小的，但这只是经验规律，不是绝对结论——如果X的分布极端特殊，可能会有例外，但这种情况非常少见。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者mildChoko