嘿，我来聊聊你这个证明里的小疑惑～

先复盘下问题：在分配格$\langle L, \hat{\lor}, \hat{\land} \rangle$中，已知$x \hat{\land} a = y \hat{\land} a$且$x \hat{\lor} a = y \hat{\lor} a$，要证$x = y$。你觉得自己只用了其中一个前提就推出了结论，这确实是个值得抠细节的点。

其实你的推导里有个容易忽略的地方：你最后写$y = (y \hat{\lor} x) \hat{\land} (x \hat{\lor} a)$的时候，已经悄悄把$y \hat{\lor} a$替换成了$x \hat{\lor} a$——也就是用到了第二个前提，只是没明确标注出来，才会产生“只用了一个条件”的错觉。

更关键的是：单独一个$x \hat{\land} a = y \hat{\land} a$根本推不出$x=y$，咱们可以举个分配格里的反例：比如取集合$L={0,1,a,b}$构成的分配格，其中$0$是最小元，$1$是最大元，$a$和$b$不可比（即$a \hat{\land} b=0$，$a \hat{\lor} b=1$）。这时候$a \hat{\land} 0 = b \hat{\land} 0 = 0$，但显然$a \neq b$，这就说明必须同时用到两个前提才行。

给你一个更严谨的推导版本，每一步都明确标注用到的条件：
$$
\begin{align*}
x &= x \hat{\land} (x \hat{\lor} a) \
&= x \hat{\land} (y \hat{\lor} a) \quad \text{（用到已知条件：} x \hat{\lor} a = y \hat{\lor} a\text{）} \
&= (x \hat{\land} y) \hat{\lor} (x \hat{\land} a) \quad \text{（分配格的分配律）} \
&= (x \hat{\land} y) \hat{\lor} (y \hat{\land} a) \quad \text{（用到已知条件：} x \hat{\land} a = y \hat{\land} a\text{）} \
&= y \hat{\land} (x \hat{\lor} a) \quad \text{（反向应用分配律）} \
&= y \hat{\land} (y \hat{\lor} a) \quad \text{（再次用到} x \hat{\lor} a = y \hat{\lor} a\text{）} \
&= y
\end{align*}
$$

你看，两个前提在这里都是必不可少的，这样推导逻辑就完全通顺啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lafinur