我最近研究了三角形$ABC$的几个特殊垂足点：从顶点$A$引出的中线、角平分线和高的垂足分别记为$M$、$D$、$H$（其中边长定义为$a:=BC$，$b:=AC$，$c:=AB$），并推导出了如下公式：
$$4MD \cdot MH=(b-c)^2 \tag{1}$$

我有两个疑问想请教大家：

• 这个公式是否已经被现有文献或数学资料收录过？
• 有没有更简洁的替代证明方法？

我的证明过程 #

由于这个公式是齐次的，我们可以不失一般性地假设$a=2$。我将边$BC$放在x轴上，取中线垂足$M$为坐标原点，这样$A$点坐标为$(-1,0)$，$B$点坐标为$(1,0)$。接下来我把公式(1)转化为等价形式：
$$16x_D^2 \cdot x_H^2=(b-c)4 \tag{2}$$
其中$x_D$、$x_H$分别是$D$、$H$两点的横坐标。

首先根据角平分线定理，角平分线的垂足$D$会将$BC$边按邻边比例分割，因此$D$点的横坐标满足：
$$1-x_D=2\frac{b}{b+c} \iff x_D=\frac{c-b}{c+b}\tag{3}$$
将(3)代入(2)后，公式可以简化为：
$$16x_H^2=(b2-c²⁾2 \tag{4}$$

接下来需要用到几个经典公式：

1. 海伦公式：考虑到$a=2$，三角形$ABC$的面积平方$\mathfrak{A}^2$可表示为：
   $$\mathfrak{A}^{2=\frac{1}{16}((b+c)}2-4)(4-(b-c)^2)\tag{5}$$
2. 高与面积的关系：设高$h:=AH$，则三角形面积也可表示为：
   $$\mathfrak{A}=\frac{1}{2} \cdot 2 \cdot h = h\tag{6}$$
3. 中线长度公式：中线$m:=AM$的平方为：
   $$m^{2=\frac{1}{4}\left(2(b}2+c^{2)-\underbrace{a}2}_{4}\right)\tag{7}$$

在直角三角形$AHM$中应用勾股定理，可得：
$$x_H^2=m2-h^{2=\frac{1}{4}\left(2(b}2+c^{2)-4\right)-\mathfrak{A}}2\tag{8}$$

将上述所有表达式代入后，只需验证下面的恒等式成立即可证明公式(4)：
$$4 \left(2(b^2+c2)-4\right)-((b+c)^2-4)(4-(b-c)2)=(b^2-c2)^2\tag{9}$$
经过代数运算可以确认，这确实是一个恒等式，因此原公式(1)得证。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jean Marie