嗨，我仔细看了你的推导过程，问题其实出在积分上下限的遗漏上——你在计算边际密度的时候，没考虑变量V的取值范围，用了不定积分导致结果出错啦！

先给你梳理下正确的步骤，对照你的推导来看：

• 你的变量替换（U=X+Y，V=Y）和Jacobian行列式的计算都是完全正确的，联合密度$f_{U,V}(u,v)=\frac{2}{(1+u)^3}$这个结果没问题。
• 但关键是，原变量X和Y都满足$x>0, y>0$，对应到新变量U和V上，要满足两个条件：
  • $V=Y>0$
  • $X=U-V>0 \implies V < U$
    同时U是X+Y的和，所以U本身也必须大于0（毕竟X、Y都是正数）。
• 所以计算边际密度$f_U(u)$的时候，积分的上下限不是无界的，而是从$v=0$到$v=u$的定积分：

  f_U(u) = \int_{0}^{u} \frac{2}{(1+u)^3} dv
  

  因为被积函数和v无关，直接计算就能得到：

  f_U(u) = \frac{2}{(1+u)^3} \times (u - 0) = \frac{2u}{(1+u)^3}
  

  这就和教材的结果一致了！

另外补充下完整的分布：当$u \leq 0$时，$f_U(u)=0$；当$u>0$时，就是上面的表达式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者kabin