嗨，你的问题其实触及了一个很容易混淆的点——这种情况完全是可能的，不一定是你的计算出错了。

你提到的条件 $\int_0^{\infty} \left| \sum_{n=0}^\infty A_n(t) f(t) \right| dt < \infty$，仅仅说明级数的和函数是绝对可积的，但这和“逐项积分后的级数收敛”是两个完全不同的条件。

举个直观的例子：我们取 $f(t)=1$，让级数的和函数为 $\sum_{n=0}^\infty A_n(t) = e^{-t}\sin t$。这个和函数的绝对积分是收敛的：
$$
\int_0^\infty e^{-t}|\sin t|dt = \sum_{k=0}^\infty \int_{k\pi}^{(k+1)\pi} e^{-t}|\sin t|dt = \frac{1+e^{-\pi}}{1-e{-\pi}}
$$
是一个有限值。现在把 $e^{-t}\sin t$ 展开成泰勒级数：
$$
e^{-t}\sin t = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} e^{-t}
$$
对每一项单独积分的话，利用伽马函数的性质 $\int_0^\infty t^k e^{-t}dt = k!$，可以得到：
$$
\int_0^\infty (-1)^n \frac{t^{2n+1}}{(2n+1)!} e^{-t} dt = (-1)^n
$$
所以交换积分与求和顺序后，得到的级数是 $\sum_{n=0}^\infty (-1)^n$，这显然是发散的，但原积分 $\int_0^\infty e^{-t}\sin t dt = \frac{1}{2}$ 是收敛的。

为什么会出现这种矛盾？核心原因在于：Fubini定理（或针对级数的勒贝格控制收敛定理）中，如果要保证交换顺序后级数收敛，更强的条件是 $\sum_{n=0}^\infty \int_0^\infty |A_n(t)f(t)|dt < \infty$（即逐项绝对积分的和收敛），这时候交换后的级数会绝对收敛。而你的条件只是和函数绝对可积，并没有约束逐项积分的级数行为，因此就可能出现交换后级数发散的情况。

所以你遇到的情况是完全合理的，不一定是计算错误。不过你也可以再核对一下：交换顺序的步骤是否严格符合定理的前提，或者逐项积分的计算有没有失误，但从理论层面来说，这种现象是确实存在的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Alex