你提到用Desmos观察到函数图像始终在59以上（大概60左右），但没法量化证明对吧？其实我们可以通过分类讨论+均值不等式+函数单调性来严谨推导这个结论，具体步骤如下：

首先，原式中存在(\frac{1}{x})，所以(x=0)直接无意义，我们分(x>0)和(x<0)两种情况分析：

情况1：(x>0) #

• 令(t = x + \frac{1}{x})，根据均值不等式，当(x>0)时，(t = x + \frac{1}{x} \geq 2\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}} = 2)，当且仅当(x=1)时取到等号。
• 将原式变形为：(7^{t} + 5^x + 6^{\frac{1}{x}})。当(x=1)时，代入计算得(5 + 6 + 7^2 = 5+6+49=60)。
• 由于(7^{t)在(t\geq2)时单调递增，而(5}x + 6^{{\frac{1}{x}})在(x>0)时，当(x)偏离1时，值会增大（比如(x=2)时，(5}2+6^{0.5}+7{2+0.5}=25+\sqrt{6}+7^{2.5})，明显远大于60），所以(x>0)时函数的最小值是60，大于58，不可能满足原式。

情况2：(x<0) #

• 令(x = -k)（(k>0)），原式转化为：(5^{-k} + 6^{-\frac{1}{k}} + 7^{-k - \frac{1}{k}})。
• 因为(k>0)，所以(-k、-\frac{1}{k}、-k-\frac{1}{k})都是负数，那么(5^{{-k}=(\frac{1}{5})}k <1)，(6^{{-\frac{1}{k}}=(\frac{1}{6})}{\frac{1}{k}}<1)，(7^{{-k-\frac{1}{k}}=(\frac{1}{7})}{k+\frac{1}{k}}<1)。
• 三个小于1的数相加，结果必然小于3，远小于58，所以(x<0)时也不可能满足原式。

综上，两种情况都不满足原方程，因此原方程没有实数解。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者MathStackExchange