嘿，我来帮你捋捋这段推导的价值哈！先把你写的推导用更清晰的格式整理出来：

关于矩阵A的特征值推导： #

$$Au=\lambda_1 u$$
$$Au-\lambda_1 u=0$$
$$(A-\lambda_1 I)u=0$$
进而得到特征方程：
$$|A-\lambda_1I|=0$$

关于矩阵$A^T$的特征值推导： #

同样的逻辑，我们可以得到：
$$(A^T-\lambda_2I)v=0$$
对应的特征方程：
$$|A^T-\lambda_2 I|=0$$
接着利用行列式的核心性质——行列式的转置等于原行列式，即$|M^T|=|M|$，可以推导：
$$|A^T-\lambda_2 I|=|(A-\lambda_2 I)^T|=|A-\lambda_2 I|=0$$

现在回答你的问题：你写的这些推导非常有用！

你做的这些步骤其实是在完成一个关键的前置证明——**矩阵A和它的转置$A^{T$拥有完全相同的特征值集合**。这个结论是证明“不同特征值下A的特征向量与$A}T$的特征向量正交”的核心前提之一。

不过要完成完整的正交性证明，你还需要补上最后几步核心推导，我给你补上：
假设$u$是A对应特征值$\lambda_1$的特征向量，$v$是$A^T$对应特征值$\lambda_2$的特征向量，且$\lambda_1 \neq \lambda_2$：

1. 对$Au = \lambda_1 u$两边左乘$v^{T$，得到：$v}T A u = \lambda_1 v^T u$
2. 对$A^T v = \lambda_2 v$两边转置，得到：$v^T A = \lambda_2 v^{T$，再右乘$u$得：$v}T A u = \lambda_2 v^T u$
3. 联立上面两个式子：$\lambda_1 v^T u = \lambda_2 v^T u$，整理得$(\lambda_1 - \lambda_2)v^T u = 0$
4. 因为$\lambda_1 \neq \lambda_2$，所以必然有$v^T u = 0$，也就是$u$和$v$正交。

总结一下：你写的推导是整个证明链条里的重要基础，完全是有用的，只是还需要把最后那步正交性的核心逻辑补上就完整啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Magenta