嗨，我来帮你一步步拆解这个问题，不管是手绘图形的思路，还是解析法里的疑问，都给你讲明白～

一、手绘图形法（无计算器） #

首先我们把方程拆成左右两个函数：
左边是$f(x) = x^2 - 4|x| + 3$，右边是常数函数$y = |k-1|$（一条水平直线）。方程有四个实根，本质就是这两个函数的图像有四个交点。

步骤1：绘制$f(x) = x^2 - 4|x| + 3$的图像 #

这个函数是偶函数（把x换成-x，函数值不变），所以我们只需要先画x≥0的部分，再对称到左边就行：

• 当$x≥0$时，$f(x) = x^2 - 4x + 3$，这是开口向上的抛物线：
  • 顶点在$x=-\frac{b}{2a}=2$，代入得$f(2)=2^2-4*2+3=-1$；
  • 和x轴交点：解方程$x^2-4x+3=0$，得$x=1$和$x=3$；
  • 当x=0时，$f(0)=3$。
    所以x≥0的部分是从(0,3)出发，向下到(2,-1)，再向上穿过(3,0)，之后继续上升。
• 利用偶函数对称性，把x≥0的图像沿y轴翻转，得到x<0的部分：x=-1、-3时f(x)=0，x=-2时f(x)=-1，x=0时f(x)=3。

步骤2：分析水平直线$y=|k-1|$的位置 #

要和$f(x)$有四个交点，这条水平直线的y值需要满足：

• 不能低于$f(x)$的最小值-1（否则无交点）；
• 不能等于-1（此时只有x=±2两个交点）；
• 不能等于3（此时直线过(0,3)、(±4,3)，共三个交点）；
• 不能大于3（此时只有x=±t两个交点，t是方程$x^2-4x+3=|k-1|$的正根）。

所以y值的范围是$0 < |k-1| < 3$（当$|k-1|=0$时，直线y=0，和$f(x)$交于(±1,0)、(±3,0)，正好四个交点，符合要求）。

解这个不等式：

• 当$k-1≥0$时，$0 < k-1 < 3$ → $1 < k < 4$；
• 当$k-1 < 0$时，$0 < -(k-1) < 3$ → $-2 < k < 1$；

合并起来就是$k∈(-2,4)$，和你给出的答案一致。

二、解析法及你的疑问解答 #

我们可以通过换元简化方程：令$t=|x|$（$t≥0$），原方程转化为：
$$t^2 - 4t + 3 = |k-1|$$
整理为标准二次方程：
$$t^2 - 4t + (3 - |k-1|) = 0$$

原方程有四个实根，等价于这个关于t的二次方程有两个不相等的正实根（因为每个正t对应两个x值：$x=±t$）。

为什么要要求根的和与积大于0？ #

对于二次方程$at^2+bt+c=0$（$a>0$），要得到两个正实根，需要满足三个条件：

1. 判别式Δ>0：保证有两个不同的实根；
2. 两根之和>0：根据韦达定理，两根之和为$-\frac{b}{a}$，这里$a=1$，$b=-4$，所以和为4，天然大于0；
3. 两根之积>0：根据韦达定理，两根之积为$\frac{c}{a}=3-|k-1|$，积大于0说明两根同号，再结合和为正，就能确定两根都是正的（不会出现一正一负的情况）。

具体推导 #

• 判别式Δ：$\Delta = (-4)^2 - 41(3-|k-1|) = 16 - 12 + 4|k-1| = 4 + 4|k-1|$，因为$|k-1|≥0$，所以Δ永远大于0，不需要额外限制；
• 两根之积>0：$3 - |k-1| > 0$ → $|k-1| < 3$；
• 排除特殊情况：当$|k-1|=3$时，方程变为$t^2-4t=0$，根为t=0和t=4，对应x=0、±4，只有三个实根，不符合要求；当$|k-1|>3$时，两根之积为负，说明一正一负，负根舍去，仅对应两个实根，也不符合要求。

解$|k-1| < 3$，得到$-2 < k < 4$，就是最终的取值范围。

这样应该就把两种方法和你的疑问都讲清楚啦～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SAGNIK UPADHYAY