问题内容 #

Let $X$ be a nonsingular curve over an algebraically closed field $k$.

(c) If ${\mathscr{F}}$ is any coherent sheaf of rank $r$ (means that its stalk at the generic point has dimension $r$ as a $K(X)$-vector space), show that there is a divisor $D$ on $X$ and an exact sequence $0 \rightarrow \mathscr{L}(D)^{\oplus r}\to \mathscr {F} \rightarrow \mathscr {J} \rightarrow 0$, where $ \mathscr {J}$ is a torsion sheaf (means that its stalk at the generic point is $0$).

我的尝试与困惑 #

我顺着问题思路做了一些推导，但卡在了关键步骤上，想请教大家：

设$\zeta$是$X$的一般点，根据$\mathscr{F}$秩为$r$的定义，$\mathcal{F}\zeta \simeq \mathcal{O}{X,\zeta}^{\oplus r}$。又因为$\mathscr{F}$是凝聚层，所以存在$\zeta$的一个开邻域$U$，使得$\mathscr{F}|_U\simeq \mathcal{O}_U^{\oplus r}$。

我把$U$取成仿射开集$\operatorname{Spec} A$，这样$\mathcal{F}|_U\simeq \widetilde{M}$，其中$M$是秩为$r$的自由$A$-模，有生成元$m_1,\cdots,m_r$。现在的问题是，我该怎么把这些局部生成元$m_i$延拓成$\mathscr{F}$的整体截面呢？

考虑到$X$是曲线，$X-U$只会是有限个点的集合。对于每个$p\in X-U$，我取了包含$p$的仿射开集$U_p=\operatorname{Spec}(B)$，再找了$f\in B$使得$p=V(f)$。我注意到$m_i$应该属于$\mathcal{F}(D(f))\simeq \mathcal{F}(U_p)_f$，所以存在某个正整数$N_p$，使得$f^{N_p} m_i\in \mathcal{F}(U_p)$。

我本来想构造有效Weil除子$D=\sum N_p p$，然后通过局部乘以$f^{N_p}$来定义态射$\mathscr{L}(-D)\to \mathscr{F}$，但现在不确定这个构造在$U_p$和$U_q$（$p,q$是$X-U$中不同的点）的交集上是不是良定义的，这一步卡住了，不知道接下来该怎么推进，或者我的思路是不是有问题？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric