设幂级数 $f(x)=\displaystyle{\sum_n a_nx^n}$，系数取自p进有理数域 $\mathbb{Q}_p$，$R_f$ 是它的收敛半径，$f'$ 是它的逐项导数。

我有两个相关的问题：

1. 是否一定满足 $R_f\leq R_{f'}$？
2. 有没有可能这个不等式是严格成立的？

根据根测试，我们知道收敛半径的计算公式：
$$\frac{1}{R_{f}}=\limsup_{n\to\infty}|a_n|p^{1/n}$$
以及
$$\frac{1}{R{f'}}=\limsup_{n\to\infty}|na_n|_p^{1/n}$$

把第二个式子拆分后可以得到：
$$|na_n|_p^{1/n}=|n|_p{1/n}|a_n|_p^{1/n}$$

我原本想通过 $|n|_p^{1/n}$ 这一项来证明导数对应的上极限会比原函数的更大，但在这里卡住了，不知道该怎么继续推导。

至于第二个问题，我的直觉告诉我应该存在严格不等式的情况？但我尝试了好久，都没能想出一个扎实的（反）例子。

谢谢大家的帮助！

编辑：修正了收敛半径公式里的多处笔误。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mike Ainsel