嘿，我看到你已经尝试把方程做了几种变形，比如转化成$(x-y)(x-y-1)=2y$或者$(x+y)(x+y-1)=4xy$，这些思路其实都很靠谱！不过直接解出$y$关于$x$的表达式确实有点绕，我给你分享一个更直观的方法来证明这个方程有无穷多整数解。

我们可以先做一个变量替换，设$d = x - y$——因为$x$和$y$都是整数，所以$d$肯定也是整数。把这个代入原方程，原方程就变成了：
$$x + y = d^2$$

现在我们有了两个关于$x$和$y$的整数方程：

• $x - y = d$
• $x + y = d^2$

把这两个方程联立求解就很简单了：

1. 把两个方程相加：$2x = d^2 + d$，所以$x = \frac{d(d+1)}{2}$
2. 把两个方程相减：$2y = d^2 - d$，所以$y = \frac{d(d-1)}{2}$

接下来关键的一点：不管$d$取任意整数，$x$和$y$都会是整数。因为$d$和$d+1$是连续的两个整数，其中必有一个是偶数，所以$\frac{d(d+1)}{2}$一定是整数；同理，$d$和$d-1$也是连续整数，$\frac{d(d-1)}{2}$也必然是整数。

我们可以举几个例子验证一下：

• 当$d=0$时，$x=0$，$y=0$，代入原方程：$0+0=(0-0)^2$，成立；
• 当$d=1$时，$x=1$，$y=0$，代入得：$1+0=(1-0)^2$，成立；
• 当$d=2$时，$x=3$，$y=1$，代入得：$3+1=(3-1)^2$，$4=4$，成立；
• 当$d=-1$时，$x=0$，$y=1$，代入得：$0+1=(0-1)^2$，$1=1$，成立；

因为整数$d$有无穷多个，对应的$(x,y)$解也就有无穷多组，这样就证明了原方程存在无穷多整数解啦。

其实你之前变形得到的$(x-y)(x-y-1)=2y$，和我们这个思路是相通的——把$d=x-y$代入这个式子，就得到$d(d-1)=2y$，和我们推导出的$y$的表达式完全一致，只是换个变量替换后，整个逻辑就清晰多了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Delta Account