首先，我得先拆解你的问题核心：你有一个分式表达式，想要证明它在分母非零的情况下可以写成次数不超过n的x多项式（且常数项为0），同时希望找到显式形式或者借助Mathematica的通用方法。下面分两部分来梳理思路：

一、存在性证明：为什么分式能化简为目标多项式 #

先简化表达式里的符号，再利用多项式整除性来推导：

• 先处理已知符号：由$z = \frac{b}{\sqrt{bc}}$可得$z^2 = \frac{b}{c}$，即$cz^2 = b$；分母展开后为$(x - ze^{i\theta})(x - ze^{-i\theta}) = x^2 - 2zx\cos\theta + z^2$，其中$\theta = \frac{k\pi}{n+1}$。
• 分子整理后为$cx\left(x^{n+1} - (-1)^kz{n+1}\right)$，整个分式可改写为：
  $$
  \frac{cx\left(x^{n+1} - (-1)^kz{n+1}\right)}{x^2 - 2zx\cos\theta + z^2}
  $$
• 关键观察：分母的两个根是$\alpha = ze^{i\theta}$和$\beta = ze^{{-i\theta}$，代入分子中的$x}{n+1} - (-1)^kz{n+1}$：
  $\alpha^{n+1} = z^{n+1}e{i(n+1)\theta} = z^{n+1}e{ik\pi} = (-1)^kz{n+1}$，因此$\alpha^{n+1} - (-1)^kz{n+1}=0$，同理$\beta^{n+1} - (-1)^kz{n+1}=0$。这说明分母的两个根都是分子中$x^{n+1} - (-1)^kz{n+1}$的根，即分母是该多项式的因式。
• 多项式次数推导：$x^{n+1} - (-1)^kz{n+1}$是n+1次多项式，除以二次分母后得到n-1次多项式，再乘以$cx$（一次项），最终得到的就是n次多项式，且常数项为0（因为乘了x），完全符合你要的$Y(x)$形式。

二、显式求解方法（含Mathematica通用方案） #

1. 代数推导显式形式 #

可以用递推或部分分式展开的方式得到多项式的显式：

• 递推法：利用分母的二次关系$x^2 = 2zx\cos\theta - z^2$，对$xm$（$m\geq2$）进行降次替换，逐步将分子的$x^{n+1}$展开为低次项，最终得到分子除以分母的多项式形式，再乘以$cx$即可。
• 部分分式求和：设$r=ze^{{i\theta}$，则分母为$(x-r)(x-\overline{r})$，利用等比数列求和公式$\frac{x}{n+1}-r^{n+1}}{x-r} = \sum_{m=0}^n r^mx{n-m}$，再结合部分分式拆分：
  $$
  \frac{x^{n+1}-r{n+1}}{(x-r)(x-\overline{r})} = \frac{1}{r-\overline{r}}\left(r\sum_{m=0}^n r^mx{n-m} - \overline{r}\sum_{m=0}^n \overline{r}^mx{n-m}\right)
  $$
  整理后就能得到多项式的求和形式，再乘以$cx$就是$Y(x)$的显式表达式。

2. Mathematica通用处理代码 #

你可以用符号计算直接化简并展开，代码示例如下：

(* 定义符号变量 *)
n = Symbol["n"];
k = Symbol["k"];
b = Symbol["b"];
c = Symbol["c"];
x = Symbol["x"];

(* 代入题目中的符号定义 *)
z = b/Sqrt[b*c];
theta = k*Pi/(n+1);

(* 构造分子和分母 *)
numerator = x*(-c*z^(n+1)*(-1)^k + c*x^(n+1));
denominator = (x - z*Exp[I*theta])*(x - z*Exp[-I*theta]);

(* 化简并得到多项式形式，添加假设条件确保有效性 *)
Y = FullSimplify[numerator/denominator, 
  Assumptions -> n ∈ PositiveIntegers && k ∈ Integers && 1 <= k <= n && b != 0 && c != 0];

(* 展开为标准多项式形式 *)
Expand[Y]

因为我们已经证明了分式是多项式，FullSimplify结合Cancel会自动消去分母，Expand则会输出你需要的$y_1x + y_2x^2 + \dots + y_nx^n$形式。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Matthew Neil