我正在啃Hartshorne《代数几何》里的这道习题的(a)部分：

设$Y$是$\mathbb{P}^{n}$中维数为$r$、次数$d>1$的簇，$P \in Y$是一个非奇异点。定义$X$为所有直线$PQ$（其中$Q \in Y, Q \neq P$）的并的闭包。

(a) 证明$X$是维数为$r+1$的簇。

我看了不少解答，里面都直接断言$X$和$Y$上的锥是双有理的，但我完全摸不着头绪：到底要怎么严谨地证明一个给定的态射是双有理态射？另外，我也没搞明白“$P$是$Y$的非奇异点”这个假设在这里到底有什么用——好像很多步骤里都没用到它？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Eric