嘿，这个问题问得非常关键，咱们从弧长的本质和平方根的数学定义两个角度来拆解：

1. 为什么x>0时取正平方根？ #

首先要明确：弧长是非负的几何量，它代表曲线段的实际长度，不可能是负数。而弧长公式里的被积项 $\sqrt{1+[f'(x)]^2}$，本质是曲线上某点的“线元长度”，必须保证非负性。

回到你的例子：
我们已经推导得出 $1+[f'(x)]^{2=(2x+\frac{1}{8x})}2$，根据平方根的数学定义，$\sqrt{A^2}=|A|$（平方根函数的结果永远是非负的）。
因为题目中x>0，$2x$ 和 $\frac{1}{8x}$ 都是正数，它们的和 $2x+\frac{1}{8x}$ 必然为正，所以绝对值符号可以直接去掉，最终结果就是正的平方根。

说白了：我们不是“特意选正”，而是平方根函数本身就输出非负值，再结合定义域内表达式的符号，自然得到正的结果。

2. 有没有会取负平方根的情况？ #

严格来讲，普通的无向弧长计算永远不会取负平方根——毕竟长度不可能是负数。但有个特殊场景需要注意：
如果计算的是有向弧长（也就是考虑曲线的遍历方向，比如从大x值往小x值走，或者参数方程中参数递减的情况），积分结果可能会是负数，但这不是因为我们取了负的平方根，而是积分方向导致的。

举个例子：假设你要计算曲线从x=2到x=1的弧长，用同样的函数 $y=x^2-\frac{\ln(x)}{8}$，被积项依然是 $\sqrt{1+[f'(x)]^2}=2x+\frac{1}{8x}$（正的），但积分上下限是从2到1，结果会是负数——这时候只需要取绝对值，就得到了实际的弧长，被积项本身始终保持正的状态。

另外，如果某个函数的导数表达式使得 $A=2x+\frac{1}{8x}$ 在定义域内为负（比如x<0，但你的例子里x>0，lnx才有意义），那 $\sqrt{A^2}=|A|=-A$，这时候看起来像是取了负的平方根，但本质还是遵循平方根非负的定义，保证线元长度为正。

总结一下：弧长公式里的平方根始终取非负值，这是“长度非负”的几何意义和平方根的数学定义共同决定的，所谓“负平方根”的场景，本质上是绝对值处理后的结果，而非主动选择负根。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Willow