大家好，我现在遇到了一道三角学练习题（编号160），想请各位帮忙看看问题出在哪里。题目背景是$\triangle ABO$为等腰三角形，已知$\beta=2\alpha$，要求只能使用角平分线公式和倍角/半角公式解题。

已知$\cos\beta=-\frac{1}{4}$，我先计算$\sin\alpha$的过程应该是正确的：
$$\sin \alpha=\sin\frac{\beta}2=\sqrt{\frac{1-\cos\beta}{2}}=\frac{\sqrt{10}}{4}$$

接下来根据角度关系：$\gamma \cong \delta$（即$\gamma$与$\delta$相等），且$\gamma+\delta+\beta=180^\circ$，可以推导出$\gamma =90^\circ-\frac{\beta}2$，因此计算$\cos\gamma$的过程也没问题：
$$\cos\gamma=\cos\left(90^\circ -\frac{\beta}2\right)=\sin\frac{\beta}2=\frac{\sqrt{10}}{4}$$

现在我卡在了$\tan\delta$的计算上，我的推导过程如下：
$$\tan \delta =\frac{\sin\left(90^{\circ-\frac{\beta}2\right)}{\cos\left(90}\circ-\frac{\beta}2\right)}=\frac{\cos\frac{\beta}2}{\sin\frac{\beta}2}=\frac{\sqrt{\frac{1+\cos\beta}{2}}}{\frac{\sqrt{10}}{4}}=\frac{\sqrt{15}}{5}$$

但书上用红色感叹号标注的结果和我算的不一样，我怀疑书里的结果是错误的？另外我在另一道类似的练习题中，计算正切值时也遇到了相同的问题，始终得不到正确结果，希望各位能帮我分析一下问题所在，非常感谢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sebastiano