嘿，你已经走在完全正确的推导道路上了，而且离最终结果只差最后一步简单的代数化简！咱们一步步把剩下的逻辑理清楚：

首先，你已经通过条件概率定义、拆分联合概率，再利用独立泊松变量的可加性（独立泊松变量的和仍服从泊松分布，参数为各变量参数之和），把式子化简到了这一步：

$$= \frac{y!}{x!(y-x)!}*\frac{λ_1^x (λ_2+...+λ_k)^{{y-x}}{(λ_1+λ_2+...+λ_k)}y}$$

这一步已经非常接近二项分布的形式了，接下来只需要对分式部分做拆分：

我们把分母$(λ_1+λ_2+...+λ_k)^y$拆成$(λ_1 + (λ_2+...+λ_k))^y$，然后将整个分式拆成两个部分的乘积：
$$\frac{λ_1^{x}{(λ_1+λ_2+...+λ_k)}x} * \frac{(λ_2+...+λ_k)^{{y-x}}{(λ_1+λ_2+...+λ_k)}{y-x}}$$

进一步整理后就得到：
$$\left( \frac{λ_1}{λ_1+λ_2+...+λ_k} \right)^x * \left( \frac{λ_2+...+λ_k}{λ_1+λ_2+...+λ_k} \right)^{y-x}$$

注意到$\frac{λ_2+...+λ_k}{λ_1+λ_2+...+λ_k} = 1 - \frac{λ_1}{λ_1+λ_2+...+λ_k}$，我们给两个参数做个定义：

• 令$n = y$，也就是给定的总和$X_1+X_2+...+X_k = y$
• 令$p = \frac{λ_1}{λ_1+λ_2+...+λ_k}$

代入之后，你的式子就变成了：
$$\binom{y}{x} p^x (1-p)^{y-x}$$

这正是**二项分布Binomial(n=y, p=λ₁/(λ₁+...+λₖ))**的概率质量函数！

针对你最后提出的疑问：$λ_1+...+λ_k$不需要求和到1，这里的$p$是这个比值本身，它的范围天然在0到1之间，完全符合二项分布对参数$p$的要求。

总结一下，你从条件概率出发的推导路径完全正确，只是最后一步的代数拆分需要一点小技巧，现在已经完整得到了条件分布的形式和对应的参数啦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者nilsinelabore