大家好，我现在遇到了一个联合连续随机变量CDF求解的问题，想请教一下：

问题背景 #

设集合$A$是$\mathbb{R}^2$中由直线$y=0$、$x=y$和$x=2$围成的区域，联合连续随机变量$(X,Y)$的概率密度函数（PDF）为：
$$f(x, y) = cxy^2 \quad (x, y) \in A$$

我的思路与困惑 #

我知道联合CDF的定义是：
$$F_{X, Y} (x, y)=\int_{-\infty}^{{y}\int_{-\infty}}{x}f_{X, Y}(u, v) du dv$$
结合区域$A$的范围，我初步整理出了积分的限：

• $X$的有效取值范围是$0$到$2$，同时要小于等于$x$
• $Y$的有效取值范围是$0$到$x$，同时要小于等于$y$

所以写出了这样的积分表达式：
$$F_{X, Y} (x, y)=\int_{0}^{\min(y, x)}\int_{0}^{\min(2, x)}cuv^2 du dv$$

但我现在有两个核心困惑：

• 这种带有$\min$函数的积分该怎么计算？之前从没处理过这类情况。
• 这个表达式对应的$(X,Y)$取值范围是什么？我觉得不只是区域$A$内部的点，比如当$x=100$、$x=50$且$y>2$时，这个式子好像也适用？我想要得到覆盖所有$(x,y)$取值的完整CDF。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者zoro