嘿，这个问题问得挺有眼光的！其实早就有数学家在尝试用*确定性公理（axiom of determinacy，简称AD）*来发展泛函分析了，而且这还是个挺有意思的交叉研究方向呢。

• 首先得明确，AD和经典泛函分析里常用的选择公理（AC）是互斥的，所以用AD重构泛函分析的第一步，就是重新梳理那些依赖AC的核心结论：像哈恩-巴拿赫定理、巴拿赫-塔斯基悖论这类，在AD框架下要么不成立，要么得换个形式重新探讨。
• 在AD的语境里，巴拿赫空间的结构会出现很多和AC框架下不一样的性质：比如“所有无限维巴拿赫空间是否存在基”这个在AC下悬而未决的问题，在AD下能得到不同的分析结果；另外AD能保证更多集合具备可测性，这直接影响到泛函分析里测度相关的内容，比如积分算子的性质、函数空间的结构都会有新的变化。
• 不少集合论学者和泛函分析学者合作的工作中，会聚焦AD下的算子理论、函数空间对偶性这些方向，比如研究哪些线性泛函的存在性不需要依赖AC，或者构造出AC框架下不可能存在的特殊巴拿赫空间。
• 而且AD和描述集合论联系紧密，描述集合论里的不少工具被引入泛函分析中，反过来泛函分析的方法也能帮助研究者更好地理解AD框架下的集合结构。

总的来说，这是一个小众但深度十足的研究领域，已经有不少初步成果，不过还有大量未解决的问题等着大家去挖掘呢！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Jello