嘿，很高兴能帮你理清这个符号上的困惑——反函数导数的记法确实容易让人绕晕，咱们一步步拆解：

首先得先纠正一个小误解：你提到的$f^{{-1}(y)$并不是返回y，它的本质是**f的反函数在y处的取值**，对应的是满足$f(x)=y$的那个x值，也就是满足$f(f}{-1}(y))=y$，这是反函数的核心定义，先把这个基础掰正就好办了。

接下来咱们详细区分你问的两个符号，以及运算顺序的影响：

• $(f^{-1})'(y)$的含义：
  这个符号的运算顺序是先求反函数，再对反函数求导。具体来说：先取原函数$f$的反函数$f^{{-1}$，然后对这个反函数关于变量y求导，得到的是反函数本身的导数，它描述的是反函数$f}{-1}(y)$随y变化的速率。

• $f'(y)^{-1}$的含义：
  这个符号的运算顺序是先求原函数的导数，再取导数结果的倒数。具体来说：先求原函数$f$的导函数$f'(x)$，把变量x替换成y得到$f'(y)$，然后取这个值的倒数（也就是$\frac{1}{f'(y)}$）。这里完全没有涉及反函数的运算，只是对原函数在y点的导数取倒数而已。

结合公式看差异 #

反函数导数公式$(f^{{-1})'(y)=f'(f}{-1}(y))^{{-1}$的核心逻辑是：反函数在y点的导数，等于原函数在**反函数对应点**（也就是$f}{-1}(y)$，即满足$f(x)=y$的那个x）处的导数的倒数。

这里的$f'(f^{-1}(y)){-1}$其实是$\frac{1}{f'(x)}$在$x=f^{{-1}(y)$处的取值，和直接取$f'(y)}{-1}$完全不是一回事：前者的倒数是原函数在x点（x是y对应的原函数输入）的导数的倒数，后者是原函数在y点的导数的倒数，这两个点一般不同，除非$f(x)=x$这种恒等函数。

举个直观的例子：比如原函数$f(x)=e^{x$，它的反函数是$f}{-1}(y)=\ln y$：

• $(f^{-1})'(y)$就是$\ln y$的导数，结果是$\frac{1}{y}$；
• 用公式计算：$f'(f^{-1}(y)){-1}=(e^{\ln y})^{-1}=y{-1}=\frac{1}{y}$，和直接求导结果一致；
• 而$f'(y)^{-1}$是$(ey)^{{-1}=\frac{1}{e}y}$，这和$\frac{1}{y}$显然完全不同，这就直观体现了运算顺序的重要性。

总结一下：符号的顺序绝对是关键，先反函数再求导，和先求导再取倒数，是完全不同的运算，对应的数学意义和计算结果都有天壤之别。反函数导数公式的核心就是把反函数的导数，转化为原函数在对应点导数的倒数，这里的“对应点”必须是反函数的取值，不能直接用y代入原函数的导数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者aliosha karamazov