最近碰到这么个看起来简单但卡壳的问题：

Exercise 1.6.28. The partial computable functions are not closed under $μ$. Prove that there is a p.c. function $θ$ such that $λx [ μy [ ψ(x, y) = 1 ] ]$ is not p.c.

（注：这里推测ψ应该是笔误，实际应为θ）

这个问题乍看不难，但我一时没捋出完整的证明逻辑，想请教下大家的见解。我自己初步的思路是借助s-m-n引理来构造一个部分可计算函数，核心是围绕“某个部分可计算函数等于某个不可计算的极限实数”这个条件，再结合对程序指标的无界搜索来推进。

具体来说，我尝试定义θ(x,y)如下：
$$
\theta(x,y) =
\begin{cases}
1 & \begin{array}{l}\text{if $\varphi_{y}(x) = $ some random real with respect to} \ \text{this particular encoding of programs,}\end{array} \[0.5em]
\mathit{undefined} & \text{otherwise}.
\end{cases}
$$
我的想法是，通过设计特定的程序编码规则，让任何部分可计算函数都无法对应到这个随机实数，但μ算子的无界搜索最终能找到满足条件的y。不过我不确定这个思路是否站得住脚，也不知道该怎么把它严谨地展开成完整证明，希望能得到大家的指点。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者H.C Manu