重复购买同号码彩票的决策条件及中奖后奖金分享概率分析
咱们从彩票的基础概率问题入手，一步步拆解这个关于是否重复购买同号码彩票的决策问题。
一、已知自己中奖时，需要分享奖金的概率
假设彩票总共有L个独一无二的号码，每次随机抽一个号码作为大奖号码。除你之外，还有n名参与者随机独立地选号，现在已知你中奖了，那你需要和别人分享奖金的概率是多少呢？
咱们先算你能独得奖金的概率：这需要所有其他n名参与者都没选到你手中的中奖号码。每个参与者选到你号码的概率是1/L，没选到的概率就是1 - 1/L，因为大家选号是独立的，所以所有人都没选到的概率就是(1 - 1/L)^n。
那你需要分享奖金的概率就是：1 - (1 - 1/L)^n
举个实际例子：美国那些大额彩票的中奖概率大概是1比3亿，如果有100万张票被卖出（也就是除你之外有近100万参与者），那你中奖后需要分享奖金的概率大概是1比1000——这个数虽然不大，但可比你当初买中彩票的概率高好几个数量级呢！
二、购买第二张彩票的两种策略对比
现在你已经买了一张彩票，打算再买第二张，有两个选择：选不同号码，或者选和第一张一样的号码。咱们来对比两种策略的收益逻辑：
策略1：选不同的号码
- 中奖概率直接翻倍：从
1/L变成2/L，因为只要两个号码中的一个被抽中，你就中奖了。 - 中奖后的奖金：如果没人和你撞号，你独得全额奖金；如果有其他人选了你中的那个号码，你按1张中奖票的份额平分奖金。
策略2：选相同的号码
- 中奖概率不变：还是
1/L，只有当你选的这个号码被抽中时，你才中奖。 - 中奖后的奖金：如果没人和你撞号，你拿全额奖金（因为你有两张票，但按票数平分的话，你拿2/2=100%，和独得一样）；如果有其他人选了这个号码，你按2张中奖票的份额平分奖金，比只买一张时的份额更高。
三、什么时候选同号码更划算？
要判断哪种策略更好，我们需要计算两种策略的期望奖金（即长期来看平均能拿到的奖金数额）：
先定义几个变量：
- V：大奖的总奖金（固定值，不管多少人中，总额不变）
- K：其他n名参与者中，选了你中奖号码的人数（K服从二项分布
Binomial(n, 1/L)）
计算两种策略的期望奖金
策略1的期望奖金E₁：
你中奖的概率是2/L，每次中奖时，你有1张中奖票，期望奖金份额是E[1/(1 + K)]（因为总中奖票数是1+K）。所以总期望奖金：E₁ = (2/L) * V * E[1/(1 + K)]策略2的期望奖金E₂：
你中奖的概率是1/L，中奖时你有2张中奖票，期望奖金份额是E[2/(2 + K)]（总中奖票数是2+K）。所以总期望奖金：E₂ = (1/L) * V * E[2/(2 + K)] = (2/L) * V * E[1/(2 + K)]
对比期望奖金
我们需要找到E₂ ≥ E₁的条件，也就是：E[1/(2 + K)] ≥ E[1/(1 + K)]
但对于所有非负整数K，1/(2 + K) ≤ 1/(1 + K)，所以这个不等式永远不成立——也就是说，按常规彩票规则（按中奖票数平分奖金），选不同号码的期望奖金总是高于选同号码的情况。
唯一的例外情况是：如果奖金不是按票数平分，而是按中奖的参与者人数平分（不管你买了多少张同号码的票，都只算一个参与者），那两种策略的期望奖金会完全相同，此时选哪种都无所谓。
不过从收益最大化的角度来说，除非你对某个号码有特殊偏好，否则永远应该选择买不同号码的第二张彩票。
备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ohad Dan
