最近我看到一个结论：可数生成元上的自由布尔代数是无原子的。我现在有个疑问想请教：如果我们对其中两个生成元仅添加$a \land b = 0$的关系，不附加其他任何约束，得到的布尔代数会是什么样的？

如果这个新代数也是无原子的，那通过$\omega$-范畴性的论证，它应该和原自由布尔代数同构，但我不确定它到底是不是无原子的。

我之前仔细想过为什么自由布尔代数是无原子的，一开始还纳闷为什么生成元本身不是原子，后来终于想通了：

• 我给元素定义了一个「生成度」的概念——就是写出这个元素所需的函数符号和生成元的最小数量。比如对于任意两个生成元$a$和$b$，我们没法推出$a \land b$等于任何生成度为1或2的元素$\alpha$，所以$a \land b$的生成度是3。这就直接说明没有哪个生成元是原子，因为原子下面不能有非零元素，可每个生成元下面都有$a \land b$这种非零的真下界。
• 类似地，假设$\alpha$是一个生成度为$n$的表达式，我们把$\alpha$里的每个生成元都替换成另一组完全不重叠的生成元，得到表达式$\beta$，那么$\alpha \land \beta$的生成度大于$n$，而且它是$\alpha$的真下界、$\beta$的真下界，这就说明$\alpha$也不可能是原子。
• 还有个直观的角度：如果生成元是原子，那根据对称性它们也必须是余原子，这样一来我们得到的就只能是4元布尔代数了，这显然和可数生成元的自由布尔代数的性质不符。

回到我的核心问题：在可数生成元${a, b, \cdots}$的自由布尔代数里，只添加$a \land b = 0$这一个关系，得到的到底是什么布尔代数？我知道如果进一步添加$b=0$或者$b=\lnot a$的条件，能得到和原自由布尔代数同构的代数，但只加$a \land b=0$的话，我就不确定结果了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Greg Nisbet