嘿，我来一步步帮你搞定这两个级数，还有通用的思路，完全不用那些复杂的收敛性测试，用基础的代数和微积分小技巧就行！

先搞定第二个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}= 2$ #

咱们从最基础的等比级数公式入手，这个你肯定学过：

对于满足$|x|<1$的实数x，无穷等比级数的和为：$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$

接下来咱们对这个等式两边逐项求导（因为在级数的收敛区间内，逐项求导是合法的）：

• 左边求导后：$\sum_{n=1}^\infty n x^{n-1}$（n=0的项导数是0，所以直接从n=1开始）
• 右边求导后：$\frac{1}{(1-x)^2}$

现在给两边都乘以x，就能得到咱们需要的形式：
$$\sum_{n=1}^\infty n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}$$

现在代入$x=\frac{1}{2}$（显然$|\frac{1}{2}|<1$，符合收敛条件），计算右边的结果：
$$\frac{\frac{1}{2}}{(1-\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{(\frac{1}{2})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}} = 2$$
这样就轻松证明了$\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n}= 2$！

再解决第一个级数：$\sum_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{2^n}= 3$ #

这个可以拆成两个简单级数的差，咱们来拆解一下：
$$\sum_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{2^n} = 2\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^n} - \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$$

现在分别计算这两个部分：

1. 第一部分：$2\sum_{n=1}^\infty \frac{n}{2^{n}$，咱们刚刚已经算出$\sum_{n=1}}\infty \frac{n}{2^n}=2$，所以这部分就是$2\times2=4$。
2. 第二部分：$\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}$，这是个首项$a=\frac{1}{2}$、公比$r=\frac{1}{2}$的等比级数，用等比级数求和公式：
   $$\sum_{n=1}^\infty r^n = \frac{r}{1-r}$$
   代入$r=\frac{1}{2}$，得到$\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$。

最后把两部分结果相减：$4-1=3$，就证明了$\sum_{n=1}^\infty \frac{2n-1}{2^n}= 3$！

一般无穷级数（形如$\sum_{n=1}^\infty (an+b)x^n$）的求值思路 #

这类级数都可以用基础的等比级数变形来解决，总结几个关键步骤：

• 牢记核心公式：先掌握等比级数$\sum_{n=0}^\infty x^n = \frac{1}{1-x}$（$|x|<1$），这是所有变形的基础。
• 逐项求导/积分：对于带n的项（比如n、n²），可以通过对基础等比级数求导（或积分）来转化。比如$\sum_{n=1}^\infty n^2xn$，可以先对$\sum_{n=1}^\infty nx^{n-1}$求导，再乘x得到。
• 拆分线性组合：如果级数是$(an+b)x^n$的形式，拆成$a\sum nx^n + b\sum x^n$，分别计算后再合并。
• 确认收敛范围：所有操作的前提是$|x|<1$，只有这样级数才收敛，求导、积分等操作才合法。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ala Bob