我现在需要找一个点P，使得$PA+PB+PC$的值最小，已知点A(-5,0)、B(5,0)、C(0,2)。

我假设点P的坐标是$(x,y)$，那么$PA+PB+PC$可以写成：
$$\displaystyle =\sqrt{(x+5)^2+y2}+\sqrt{(x-5)^2+y2}+\sqrt{x^2+(y-2)2}$$

然后我尝试用三角不等式来推导：
$\displaystyle \sqrt{(x+5)^2+y2}+\sqrt{(5-x)^2+y2}\geq \sqrt{[x+5+5-x]^2+(y-y)2}=10$
等号成立的条件是$\displaystyle \frac{x+5}{5-x}=\frac{y}{y}=> x=0$

接着我推导：$\displaystyle PA+PB\geq 10=> PA+PB+\sqrt{x^2+(y-2)2}\geq 10+\sqrt{x^2+(y-2)2}\geq 10$
等号成立的条件是$x=0,y=2$

现在我想问问大家，我的这个推导过程是对的吗？如果不对的话，应该怎么解决这个问题呢？麻烦大家帮忙解答一下，谢谢！

你的推导问题分析&正确解法思路 #

嗨，我来帮你梳理一下：你的推导结果碰巧是对的，但推导逻辑存在明显错误，具体问题和正确解法如下：

一、推导过程的错误点

1. 三角不等式的等号条件推导错误：
   你用的$\sqrt{(x+5)^2+y2}+\sqrt{(x-5)^2+y2}\geq10$这个结论是对的（这是点P到A、B的距离之和，最小值就是AB的长度10，当且仅当P在线段AB上时取到），但你推导等号条件时用的$\frac{x+5}{5-x}=\frac{y}{y}$是有问题的——当y≠0时这个等式能推出x=0，但当y=0时（也就是P在线段AB上的情况），这个分式无意义，实际上只要P在AB线段上（y=0，x∈[-5,5]），PA+PB都等于10。

2. 两个不等式的等号无法同时满足：
   你把$PA+PB\geq10$和$\sqrt{x^2+(y-2)2}\geq0$叠加，得到$PA+PB+PC\geq10$，这个逻辑不成立。因为第一个不等式等号成立时P在线段AB上（y=0），此时$\sqrt{x^2+(y-2)2}$的最小值是2（C到AB的距离），所以此时$PA+PB+PC\geq12$；而第二个不等式等号成立时P=C(0,2)，此时$PA+PB=2\sqrt{29}\approx10.77>10$。这两个不等式的等号条件无法同时满足，所以不能这样叠加求最小值。

二、正确解法（结合几何性质+代数验证）

这个问题属于费马点问题，费马点是平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，它的规则是：

• 若三角形的三个内角都小于120°，则费马点是三角形内到三个顶点连线两两夹角为120°的点；
• 若三角形有一个内角≥120°，则费马点就是这个内角的顶点。

我们先判断三角形ABC的内角情况：
计算∠ACB的大小，向量$\overrightarrow{CA}=(-5,-2)$，$\overrightarrow{CB}=(5,-2)$，点积$\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}=(-5)×5 + (-2)×(-2)=-21$，$|\overrightarrow{CA}|=|\overrightarrow{CB}|=\sqrt{(-5)^2+(-2)2}=\sqrt{29}$，所以：
$$\cos∠ACB=\frac{\overrightarrow{CA}·\overrightarrow{CB}}{|\overrightarrow{CA}|×|\overrightarrow{CB}|}=\frac{-21}{29}\approx-0.724$$
对应的∠ACB≈136°>120°，根据费马点的性质，此时使$PA+PB+PC$最小的点就是角C的顶点，即$P(0,2)$。

我们也可以用代数方法验证：
利用对称性（A、B关于y轴对称），极值点必然在y轴上（x=0），此时目标函数简化为：
$$g(y)=2\sqrt{y^2+25}+|y-2|$$

• 当y≥2时，$g(y)=2\sqrt{y^{2+25}+y-2$，求导得$g’(y)=\frac{2y}{\sqrt{y}2+25}}+1$，这个导数始终大于0，说明g(y)在y≥2时单调递增，最小值在y=2处，$g(2)=2\sqrt{29}\approx10.77$；
• 当y<2时，$g(y)=2\sqrt{y^2+25}+2-y$，求导后找到极小值点$y=-\frac{5\sqrt{3}}{3}$，计算此时的g(y)≈16.43，远大于$2\sqrt{29}$。

所以确实，P(0,2)时$PA+PB+PC$取得最小值$2\sqrt{29}$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者jacky