嘿，我完全懂你卡在哪了！其实你离突破只差一点点，根本不用绕回要证的结论，换个角度用上确界的定义就能搞定～

首先得给你点个赞，构造集合S={q∈ℚ: q<y}这个思路完全没问题，现在要证sup(S)=y，咱们紧扣上确界的两个核心条件来：

• 你已经知道y是S的上界，这一步没问题；
• 关键要证不存在比y更小的数能成为S的上界——换句话说，对任意满足t < y的实数t，总能找到某个有理数q∈S使得q > t。这里不用提前用“有理数稠密”的结论，咱们用阿基米德原理来推就行！

给你具体的提示步骤：

1. 因为t < y，所以y - t是正实数，根据阿基米德原理，存在正整数n，使得n(y - t) > 1，变形一下就是y - t > 1/n；
2. 现在看所有满足k > t*n的整数k，根据整数的良序性，这里面一定有个最小的整数k₀；
3. 来推导一下k₀/n < y：假设k₀/n ≥ y，那(k₀ - 1)/n = k₀/n - 1/n ≥ y - 1/n，结合第一步的y - 1/n > t，就会得到(k₀ - 1)/n > t，这和k₀是“大于t*n的最小整数”矛盾，所以k₀/n < y；
4. 这样一来，q = k₀/n就是属于S的有理数，而且q > t，这就说明t不可能是S的上界。

既然任何小于y的数都没法当S的上界，那y自然就是S的最小上界，也就是sup(S)=y啦！接下来你原本想的取ε=y-x找到满足x < r < y的有理数r，就完全顺理成章了～

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Igor Mello