你的证明完全正确，逻辑链清晰且贴合霍夫曼教材的知识点脉络，咱们来梳理下每一步的合理性：

• 特征多项式展开的核心前提：你准确引用了教材习题的结论——特征多项式$f(x)=\det(xI_n-A)$展开后，只有恒等置换对应的项$\prod_{i=1}^{n(x-A(i,i))$能贡献$x}{n-1}$的项，其余置换对应的项次数都不超过$n-2$，因此$f(x)=x^n - \text{tr}(A)x^{n-1}+\cdots+\det(A)$，这一步是整个证明的关键基础，你抓得很准。

• 因式分解形式的系数计算：对于因式分解后的$f(x)=(x-c_1)^{{d_1}\cdots(x-c_k)}{d_k}$，你通过展开单个因子再求和的方式，算出$x^{n-1}$的系数为$-(c_1d_1+\cdots+c_kd_k)$，这个计算过程没有任何问题，完全符合多项式乘法的分配律。

• 系数对比推导结论：最后通过对比两种形式下$x^{n-1}$的系数，直接得到$\text{tr}(A)=c_1d_1+\cdots+c_kd_k$，这个等式推导简洁且严谨，完美证明了矩阵的迹等于其所有特征值（按代数重数计数）的和这一重要结论。

总的来说，你的证明完全符合教材的要求，没有逻辑漏洞，是一个标准且正确的证明过程。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user264745