你的直觉其实特别接地气——毕竟从小学我们就知道0乘任何数都是0，无限个0加起来也还是0，怎么到微积分里就变“未定义”了？这核心问题在于：微积分里的“∞”根本不是你直觉里那个“超大的数”，它是一种“趋势”，不是能拿来做普通乘法的具体数值。

咱们拆解来看：

• 你说的“加∞次0”或者“加0次∞”，是把∞当成了一个固定的“次数”或“数量”，但在微积分的极限语境里，0·∞描述的是两个动态过程的乘积：一个量在无限趋近于0，另一个量在无限趋近于无穷大。这时候结果完全取决于这两个过程的“快慢”，没有固定答案。
• 举几个直观的例子：
  • 取函数f(x) = x（当x趋近于0时，f(x)趋近于0），g(x) = 1/x（当x趋近于0时，g(x)趋近于∞），它们的乘积是x·(1/x) = 1，极限结果是1，不是0。
  • 再换f(x) = x²（x→0时趋近于0），g(x)=1/x（x→0时趋近于∞），乘积是x²·(1/x)=x，极限结果是0。
  • 再换f(x)=x（x→0时趋近于0），g(x)=1/x²（x→0时趋近于∞），乘积是x·(1/x²)=1/x，极限结果是∞。

看到没？同样是“趋近于0的量”乘“趋近于∞的量”，结果可以是1、0、甚至∞，完全没有统一的答案。这就是为什么我们说0·∞是不定式——它不是“等于某个数”，而是需要看具体的两个趋势怎么配合，才能确定最终的极限结果。

你的直觉没错，但那是针对“静态的数”的乘法规则，而微积分里的0·∞是动态过程的结合，规则自然不一样啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Tsar Asterov XVII