先简单铺垫下二元正方形的定义 #

先给大家快速过一下二元正方形的基础概念：

• 二元有理数是形如 $a = \frac{p}{2^k}$ 的有理数，其中 $p$ 是整数，$k$ 是自然数
• 二元区间是区间 $[a,b]$，满足 $a = \frac{p}{2^k}$，$b = \frac{p+1}{2^k}$，很容易看出来区间长度完全由$k$决定
• 二元正方形就是两个等长二元区间的笛卡尔积
• 任意两个不同的二元正方形，要么相交、要么共享一个顶点、要么完全不相交（这个结论的证明我看过一个很棒的解答，这里就不细说了）

我卡住的习题问题 #

现在有这么一道习题，我完全摸不着头绪：
给定 $\epsilon > 0$，证明：
a) 单位圆盘内存在有限个二元正方形，它们的总面积超过 $\pi - \epsilon$，且彼此之间仅沿边界相交；
b) 当所有二元正方形完全不相交时，上述结论仍然成立。

我的初步拆解与思考 #

一开始我完全不知道该从哪入手，只能先试着把问题拆开来分析：
问题的表述让我隐约想到数列收敛的概念，于是我把数列收敛的定义拿出来，调整成了适合这个问题的形式：$\forall \epsilon > 0 \exists n_{0} \in \mathbb{N}: n \ge n_{0} \rightarrow |f(n) - \pi| < \epsilon$，这里的$f(n)$是我自己定义的一个函数。

我觉得这个思路是可行的，具体来说：我把$f(k)$定义为边长由$k$决定的二元正方形（边长是$\frac{1}{2^k}$），全部放入单位圆盘后的总面积：

• 比如$k=0$时，根本没有能放进单位圆盘的二元正方形，所以$f(0)=0$；
• $k=1$时，边长是$\frac{1}{2}$，能放进去的正方形总面积是1（每个正方形面积$\frac{1}{4}$，一共4个）；
• $k=2$时，边长是$\frac{1}{4}$，总面积是2（32个正方形，每个面积$\frac{1}{16}$）；

我还画了两张图辅助理解：第一张是$k=1$时所有能放进单位圆盘的二元正方形，第二张是$k=2$的情况（我已经数过数量了，直接标了数）。能看出来这些二元正方形会越来越小，慢慢填满整个圆盘，所以$f(k)$的极限应该就是$\pi$。

我尝试过的方向与疑问 #

关于寻找$f(k)$的表达式 #

我试了几个$k$值，结果很快变得很“不规则”：$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=2$，但$f(3)=2.5625$。我把每个$k$对应的二元正方形数量（$k=1$是4，$k=2$是32，$k=3$是164，$k=4$是704等）去查OEIS，结果只找到一篇我完全看不懂的学术论文（主题是自回避行走），根本帮不上忙。

关于用收敛性证明 #

我还想过通过证明$f(k)$有界且单调递增，从而证明它收敛到$\pi$，但我目前用的教材还没讲单调收敛定理，而且就算用了，也不知道怎么把这个收敛性和原问题的“有限个正方形”要求衔接起来。

一个不太确定的“半成品”证明思路 #

我试着凑了一个证明思路，但心里没底：

给定$\epsilon>0$，假设存在无限个满足条件的二元正方形（全部在单位圆盘内，总面积超过$\pi-\epsilon$，仅沿边界相交）。那我可以不断选取这些正方形，直到它们的总面积超过$\pi$（这一步用阿基米德原理就能证明，这里就省略细节了）。但这样的话，这些正方形的总面积就超过了单位圆盘的面积$\pi$，这和它们都包含在单位圆盘里矛盾，所以不可能有无限个，只能是有限个。

但我有几个很困惑的点：

1. 题目里说“finitely many dyadic squares whose area exceeds $\pi - \epsilon$”，到底是指单个正方形的面积超过$\pi-\epsilon$，还是所有正方形的总面积超过$\pi-\epsilon$？我默认是后者，但怕自己理解错了题意；
2. 这个证明逻辑是不是严谨？如果不对，问题出在哪里？
3. 这个思路好像也能直接套用到b)部分，但感觉太草率了，有没有针对b)部分的具体提示？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者l337n00b