你好，我来帮你梳理这个问题的逻辑——你的思路是对的，但需要补充一个关键的前提验证，才能确保结论成立。

先把问题背景和你的推导再理清楚：
给定序列：
$$
X_{n,\varepsilon}(\theta) = \int_0^1 \varepsilon f(Y_{n,s},\theta)\chi_{{s \leq \tau}} dW_s
$$
其中：

• $W_s$ 是标准布朗运动
• $\tau$ 是过程首次超过 $M>0$ 的停时
• $Y_n \to Y$（$n\to\infty, \varepsilon\to0$），$Y$ 为确定性过程
• $f$ 满足线性增长条件

你已经用切比雪夫不等式做了如下推导：
$$
\mathbb{P}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|\ge a) = \mathbb{P}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|^2\ge a^2) \leq \frac{1}{a^{2}\mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|}2)
$$
并提出：当 $a$ 足够大时，右侧可以任意小，进而询问是否能推出序列是一致紧的（一致紧的定义是：对任意 $\delta>0$，存在 $K$，使得
$$
\sup_{n,\varepsilon}\mathbb{P}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|\ge K) \leq \delta
$$
）

关键验证与结论 #

你的结论是正确的，但需要先确认一个核心前提：$\boldsymbol{\sup_{n,\varepsilon}\mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|^2)}$ 是有限的。我们可以通过伊藤等距性来验证这一点：

1. 利用伊藤等距性展开二阶矩：
   $$
   \mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|^2) = \varepsilon^2 \mathbb{E}\left( \int_0^1 |f(Y_{n,s},\theta)|^2 \chi_{{s \leq \tau}} ds \right)
   $$
2. 因为 $\tau$ 是首次超过 $M$ 的停时，当 $s \leq \tau$ 时，$Y_{n,s}$ 的取值被 $M$ 控制；再结合 $f$ 的线性增长条件，以及 $Y_n$ 收敛到确定性过程 $Y$，可以推出存在一个与 $n,\varepsilon$ 无关的常数 $C$，使得：
   $$
   \mathbb{E}\left( \int_0^1 |f(Y_{n,s},\theta)|^2 \chi_{{s \leq \tau}} ds \right) \leq C
   $$
3. 由此可得：$\mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|^2) \leq \varepsilon^2 C$，而无论 $\varepsilon$ 大小，$\sup_{n,\varepsilon}\varepsilon^2 C$ 都是有限的（当 $\varepsilon$ 足够小时，$\varepsilon^2 C$ 会很小；对于较大的 $\varepsilon$，结合 $Y_n$ 的收敛性依然能保证上确界有限）。

有了这个有界性，我们就可以严格推导一致紧性：
对任意 $\delta>0$，取 $K = \sqrt{\frac{\sup_{n,\varepsilon}\mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|^2)}{\delta}}$，那么：
$$
\sup_{n,\varepsilon}\mathbb{P}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)| \geq K) \leq \frac{1}{K^{2}\sup_{n,\varepsilon}\mathbb{E}(|X_{n,\varepsilon}(\theta)|}2) = \delta
$$
完全符合一致紧性的定义，所以你的判断是正确的。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者oliverjones