看起来你把这个微分方程的求解步骤拿捏得很准呀，我帮你把整个过程梳理得更清晰些：

• 第一步：求齐次方程的通解（补解）
  先写出对应的特征方程：
  $$m^2+5m+6=0$$
  解这个二次方程得到两个根：
  $$m=-2,-3$$
  由此得到齐次方程的通解：
  $$c_1e^{-2x}+c_2e{-3x}$$

• 第二步：构造非齐次方程的特解
  由于非齐次项是$e^{{-3x}$，而$-3$是特征方程的单根，所以特解不能直接设为$Ae}{-3x}$，必须乘以$x$，你选择的$$axe^{-3x}$$这个猜测形式完全正确。
  把这个形式代入原方程计算后，得到特解：
  $$−xe^{−3x}$$

• 第三步：得到原方程的通解
  把齐次通解和特解相加，就是原非齐次线性微分方程的通解：
  $$c_1e^{-2x}+c_2e{-3x}−xe^{−3x}$$

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Wish