当然可以不用软件，纯手工求解！你已经通过最小二乘法推导出了关于$s$和$k$的线性方程组，接下来有几种手工可行的解法，甚至还有更简化的思路，我给你一步步拆解：

一、先搞定所有必要的求和项（所有方法都需要这一步） #

不管用哪种方法，首先得把方程组里的各个求和项算出来，我帮你用手工近似计算（保留合适小数位减少误差）：

• $\sum t_i = 5+15+45+75+110 = 250$
• $\sum t_i^{3/2} = \sum \sqrt{t_i} \times t_i ≈ 11.18 + 58.08 + 301.86 + 649.5 + 1153.68 ≈ 2174.3$
• $\sum t_i^2 = 5²⁺¹⁵2+45²⁺⁷⁵2+110^2 = 25+225+2025+5625+12100 = 20000$
• $\sum z_i\sqrt{t_i} ≈ 4.472 + 17.424 + 60.372 + 112.58 + 183.54 ≈ 378.39$
• $\sum z_i t_i = 10 + 67.5 + 405 + 975 + 1925 = 3382.5$

由此得到你推导出的二元线性方程组：
$$
\begin{cases}
250s + 2174.3k = 378.39 \
2174.3s + 20000k = 3382.5
\end{cases}
$$

二、方法1：高斯消元法（手工解二元方程组最常用的办法） #

这个方法就是通过消元把二元方程变成一元，步骤很直观：

1. 把第一个方程乘以$\frac{2174.3}{250}≈8.6972$，得到：
   $2174.3s + 2174.3×8.6972k ≈ 378.39×8.6972$
   计算后：$2174.3s + 18910.3k ≈ 3290.0$
2. 用第二个方程减去这个新方程，消去$s$：
   $(2174.3s + 20000k) - (2174.3s + 18910.3k) = 3382.5 - 3290.0$
   化简得：$1089.7k = 92.5$，所以$k≈\frac{92.5}{1089.7}≈0.085$ cm/min
3. 把$k≈0.085$代入第一个方程：
   $250s + 2174.3×0.085 ≈ 378.39$
   计算：$250s ≈ 378.39 - 184.82 ≈ 193.57$，所以$s≈\frac{193.57}{250}≈0.774$ cm/√min

三、方法2：克莱姆法则（矩阵形式的手工解法） #

你提到的矩阵解法其实就是把方程组写成$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$的形式，然后用克莱姆法则计算：

• 系数矩阵$A = \begin{bmatrix}250 & 2174.3 \2174.3 & 20000\end{bmatrix}$，未知数$\mathbf{x}=\begin{bmatrix}s \k\end{bmatrix}$，右端向量$\mathbf{b}=\begin{bmatrix}378.39 \3382.5\end{bmatrix}$

1. 计算$A$的行列式：
   $det(A) = 250×20000 - (2174.3)^2 = 5000000 - 4727580.49 ≈ 272419.51$
2. 计算$A_s$（把$A$的第一列换成$\mathbf{b}$）的行列式：
   $det(A_s) = 378.39×20000 - 2174.3×3382.5 ≈ 7567800 - 7354579.75 ≈ 213220.25$
   所以$s = \frac{det(A_s)}{det(A)}≈\frac{213220.25}{272419.51}≈0.783$ cm/√min
3. 计算$A_k$（把$A$的第二列换成$\mathbf{b}$）的行列式：
   $det(A_k) = 250×3382.5 - 2174.3×378.39 ≈ 845625 - 822740 ≈ 22885$
   所以$k = \frac{det(A_k)}{det(A)}≈\frac{22885}{272419.51}≈0.084$ cm/min

四、方法3：变形为一元线性回归（最简便的手工方法） #

其实你可以把Philip方程变形，转化为我们更熟悉的一元线性模型，大幅减少计算量：
原方程$z = s\sqrt{t} + kt$，两边同时除以$\sqrt{t}$，得到：
$$\frac{z}{\sqrt{t}} = s + k\sqrt{t}$$
令$y = \frac{z}{\sqrt{t}}$，$x = \sqrt{t}$，就变成了标准的一元线性方程：$y = kx + s$，其中$k$是斜率，$s$是截距。

接下来用一元线性回归的手工公式计算：

1. 先计算每组数据的$x_i$和$y_i$：

   t(min)	z(cm)	$x=\sqrt{t}≈$	$y=\frac{z}{\sqrt{t}}≈$
   5	2	2.236	0.894
   15	4.5	3.872	1.162
   45	9	6.708	1.342
   75	13	8.660	1.501
   110	17.5	10.488	1.669

2. 计算求和项：
   • $\sum x_i≈31.964$，$\sum y_i≈6.568$
   • $\sum x_i y_i≈2.000 + 4.500 + 9.001 + 12.999 + 17.505≈46.005$
   • $\sum x_i^2 = \sum t_i = 250$（因为$x_i=\sqrt{t_i}$，所以$x_i^2=t_i$，省了计算！）
   • 样本数$n=5$
3. 代入一元线性回归公式：
   斜率$k = \frac{n\sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}≈\frac{5×46.005 - 31.964×6.568}{5×250 - (31.964)^2}≈\frac{230.025 - 209.94}{1250 - 1021.7}≈\frac{20.085}{228.3}≈0.088$ cm/min
   截距$s = \bar{y} - k\bar{x}≈\frac{6.568}{5} - 0.088×\frac{31.964}{5}≈1.3136 - 0.088×6.3928≈0.751$ cm/√min

这几种方法都可以纯手工完成，其中变形为一元线性回归的方法计算量最小，最适合手动操作。如果想要更精确的结果，计算时保留更多小数位即可。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Amirali