你好呀，咱们来拆解下你的论证逻辑和这个问题的正确解法~

首先明确问题背景：
给定矩阵
$A = \begin{bmatrix}1 & 0 & 3 \0 & 2 & 0\end{bmatrix}$，$C = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3 \1 & 2 & 3\end{bmatrix}$
你需要判断是否存在矩阵B使得$ABC = A$，你的思路是：如果存在这样的B，那B是C的左逆，但C既不是单射也不是满射，所以逆不存在，因此不存在这样的B。

你的论证逻辑漏洞 #

你的结论是对的，但推导过程有个关键问题：$ABC = A$并不等价于$B$是$C$的左逆。左逆的定义是$BC = I$（单位矩阵），但这里我们不能直接在等式$ABC=A$两边消去A得到$BC=I$——因为A是2×3的非可逆矩阵（行满秩但列不满秩），矩阵乘法里只有可逆矩阵才能随意左右消去哦。

正确的分析思路 #

我们可以用矩阵秩的性质或者直接展开计算来验证：

方法1：秩的性质推导

• 先计算各矩阵的秩：$r(A)=2$（两行线性无关，行满秩），$r(C)=1$（两行完全相同，秩为1）
• 根据矩阵秩的不等式：$r(ABC) \leq \min(r(A), r(B), r(C))$，因为$r(C)=1$，所以$r(ABC) \leq 1$
• 但等式右边$r(A)=2$，$1 < 2$，这就产生了矛盾，因此不可能存在这样的矩阵B。

方法2：直接展开验证

假设B是2×2矩阵$\begin{bmatrix}a&b\c&d\end{bmatrix}$，先计算$BC$：
$$BC = \begin{bmatrix}a+b & 2(a+b) & 3(a+b) \c+d & 2(c+d) & 3(c+d)\end{bmatrix}$$
再计算$ABC$：
$$ABC = A \times BC = \begin{bmatrix}(a+b) + 3\times3(a+b) & 2(a+b) + 3\times2(a+b) & 3(a+b) + 3\times3(a+b) \2\times(c+d) & 2\times2(c+d) & 2\times3(c+d)\end{bmatrix}$$
化简后得到：
$$ABC = \begin{bmatrix}10(a+b) & 8(a+b) & 12(a+b) \2(c+d) & 4(c+d) & 6(c+d)\end{bmatrix}$$
现在对比$ABC$和$A$的元素：

• 第一行第二列：$8(a+b) = 0$ → $a+b=0$
• 第一行第一列：$10(a+b) = 1$ → $a+b=1/10$
  这两个式子矛盾，因此不存在这样的矩阵B。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者uoiu