嘿，咱们来拆解这个有意思的拓扑问题：假设$P:[0,1]\to \mathbb{R}^2$是平面上的一条简单连续曲线——也就是它既是连续映射，又是单射（不会自交），那我们能不能总能把它延长，让它成为某条简单闭曲线（连续、不自交且首尾相接的曲线）的一部分？

其实这个问题可以转化成一个等价的拓扑命题：证明$\mathbb{R}^2 \setminus P((0,1))$是道路连通的。为啥这么说呢？如果这个补集是道路连通的，那就意味着我们能找到一条连接曲线两个端点$P(0)$和$P(1)$的连续路径，而且这条路径完全落在$P((0,1))$之外，不会和原曲线的内部部分相交。把这条路径和原曲线拼起来，就得到了一条简单闭曲线，原曲线自然就是它的子曲线了；反过来，如果原曲线能作为简单闭曲线的一部分，那$\mathbb{R}^2 \setminus P((0,1))$必然是道路连通的。

这里有个现成的关键结论可以用：$\mathbb{R}^2 \setminus P([0,1])$是道路连通的。因为$P([0,1])$是紧集，它在平面上的补集天生道路连通，而去掉端点的内部$P((0,1))$的补集，只会比前者多包含两个端点$P(0)$和$P(1)$，这两个点并不会破坏补集的道路连通性，所以我们就能顺利推出$\mathbb{R}^2 \setminus P((0,1))$的道路连通性。

另外，如果你感兴趣高维的情况，这个结论在$n\geq2$的$\mathbb{R}^{n$里同样成立。也就是说，对于任意$n\geq2$，定义在$[0,1]$到$\mathbb{R}}n$的简单连续曲线，都能延拓成$\mathbb{R}^n$中简单闭曲线的子曲线。原因和平面情况类似，高维欧氏空间有足够的“自由度”，能让我们找到避开原曲线的路径连接端点，保证补集的道路连通性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Z Wu