我目前正在研究一个基于傅里叶变换定义的分数阶拉普拉斯算子，它的具体表达式如下：

$$(-\Box)^{\alpha}f(t) := \int_{-\infty}^\infty d\omega e^{i\omega t} |\omega|^\alpha \int_{-\infty}^\infty d\tau e^{-i\omega\tau}f(\tau),$$

这里的$f(t)$是任意适配的函数或分布，$\alpha \in \mathbb{R}$。

我现在需要求解的是这个算子的特征值方程：

$$(-\Box)^{\alpha}f(t) = A f(t),$$

其中$A$是一个常数，本质上就是要找到这个分数阶拉普拉斯算子的特征函数。如果针对特定范围的$\alpha$求解会更简单的话，我特别关注$0 < \alpha < 1$和$-1 < \alpha < 0$这两个区间的情况。

另外有几个思路或许可以参考：比如利用齐次分布的性质——对于$\alpha$次齐次分布，满足$|\omega|^\alpha f(\tau) = f(|\omega|\tau)$，这个性质可能对求解方程有帮助。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Audrique