重掷双骰中较小值骰子后的期望值计算验证及严谨推导方法问询
2026-4-23
重掷双骰中较小值骰子后的期望值计算验证及严谨推导方法问询
今早我脑子里突然蹦出来这个问题，之后就一直揪着心想弄明白：
假设我们有两个公平的六面骰，先同时掷出两个点数，必须重掷点数较小的那个骰子；如果两个骰子点数相等，就随机选一个重掷。最终得到的两个点数之和的期望值是多少？
举个实际的例子：我第一次掷出了{2,3}，因为2比3小，所以重掷第一个骰子，第二次掷出了4，最终的结果就是{4,3}，点数和为7。
我知道正常掷两个骰子的点数和期望值是7（把所有可能的结果加起来除以36，刚才我写错成除以12了，抱歉），但在这个规则下，数据应该是负偏态的，所以得用每个可能结果的概率来加权计算。
我自己试着算了每个点数和对应的概率：
| 最终点数和 | 概率 |
|---|---|
| 2 | 1/216 |
| 3 | 4/216 |
| 4 | 9/216 |
| 5 | 16/216 |
| 6 | 25/216 |
| 7 | 36/216 |
| 8 | 35/216 |
| 9 | 32/216 |
| 10 | 27/216 |
| 11 | 20/216 |
| 12 | 11/216 |
我觉得分母216是因为6的三次方——毕竟这个过程相当于掷了三次六面骰？把每个点数和乘以对应的概率再相加，我得到的期望值是$7.9\overline{2}$（也就是7.9222...循环）。
现在我想请教大家：这个结果是正确的吗？如果不对，那正确的期望值应该怎么计算？如果结果是对的，有没有更严谨、更数学化的推导方法来证明这个结论？
备注：内容来源于stack exchange，提问作者CatTitan
